2020-04-06/07 (anomaly in coupli

讲了一次组会，讲的没有很清楚，一方面是内容本身比较“抽象”，还有就是自己理解不深，自己可以给的自己讲明白一点，但是还不足以向其他人阐述很清楚。

选择这个topic的一个原因还是一直比较在意Seiberg他们在QFT里面的新工作。自从Daniel在组会讲了他们那篇“Theta, Time reversal and Temperature”的工作之后，就开始关注他们的工作进展，也包括Tachikawa相关的工作。主要的进展是在两个方面，一个是在duality上，一个是在anomaly上，这两个方向还都与凝聚态有交集。

关于anomaly的工作，可以看Yuji Tachikawa大概是两年前的一个talk“quantum anomalies----Old and New”。比较喜欢这个talk的逻辑和构架。经典的ABJ chiral anomaly可以有很多理解方式：通过feynman 图的计算，point split的正规化方法或者Fujikawa的path integral的角度。Yuji是直接以anomaly的拓扑根源起手，然后用anomaly inflow来展开，建立一个boundary/bulk的图像，把boundary理论的anomaly导致的non-trivial vacuum或者成为SPT phase 与bulk的拓扑场论（pure gauge theory）联系起来。有了这个图像之后，我们可以尝试用他来思考其他的问题。比如M-theory也是一个规范场论，他对应的boundary理论是什么？就会发现一种弦论。这个图像也告诉我们，对SPT的分类问题，应该和高一维的拓扑场论有关。
其实简单2维边界场论/3维拓扑 的例子已经给了我们很多启示。利用这个图像就很好理解Yuji talk title 里面的the new：离散对称性的anomaly：bulk里面的规范场的规范群是离散群。

这次讲的时候，我也尝试采取Yuji这样的逻辑，先是用我们熟悉的例子建立一个图像，然后把新的内容纳入到这个图像里面。也是用了ABJ的chiral anomaly, 但是我的起手是参考M.Shifman anomaly讲义的2D QED的例子。这个例子提供的图像是，’t Hooft anomaly 可以看成是两个global symmetry 之间冲突。就是当你用其中一个global symmetry 的multiplet 作为你的state后，当你turn on 另外一个global symmetry的background field时候，会发现你的state 和这个background field 的couple方式是不同的。这样当你调节这个background field 的时候，自然可能出现level crossing的现象。有了这个图像之后，我们可以把其中global symmetry替换成是一个coupling space的symmetry: 这个symmetry是指，当你把coupling做一个变换的时候，理论对应的相是不变的，比如YM theory里面 tau的SL(2,Z) 的duality 。
如果这个coupling space 里面的symmetry和一个global symmetry 的冲突就称为了generalized 't Hooft anomaly。一个简单理解这个情形是，当我们调节coupling的时候，理论可能会有enhanced symmetry，就是出现一个新的symmetry, 一般是离散的，这个时候，你在考虑一个固有的global symmetry，这两个symmetry之间可能存在mixed anomaly。现在新的理解方式，比之前强大的地方是，并不需要enhanced symmetry的出现。这个anomaly 可以归结为 coupling 的global anomaly上，就是当你吧coupling 看成是一个场的话，他的non-trivial 拓扑导致的anomaly。我们还是generalize background field 的定义，与理论中的场耦合的，但是不具有动力学的（在path integral里面不积掉的），然后有一个“gauge” transformation的场。这样我们可以把coupling constant还有一般global symmetry的background field统一起来看作一种东西。