∞与0处

2020-09-19 本文已影响0人 Rain师兄

1. 0附近的三角函数

讲的是三角函数形式的一些积分，在0处有个瑕点，这个时候的技巧。可以用近似替代，比如sinx ～ x

比如tanx 可以用x替代，而且转换后二者同收敛同发散，通过p判别法，判断x的指数p的范围，就可以轻易求出原函数是否收敛。

在这里有两个瑕点，遇到多个瑕点，把积分分成多个积分，而且分出来的积分必须同是收敛，原积分才收敛。

在x趋于0的时候，sinx趋于0，但是x趋于∞，sinx会不断的跳跳跳，但是它是有界的lsinxl<=1，用绝对收敛判别法判断。比如

$\int_{2}^{∞}$ lsinxl/x dx <= $\int_{2}^{∞} 1/x$ dx, 因为第二个积分用p判别法是发散的，所以第一个发散的，那么第一个积分去掉绝对值也是发散的，根据绝对收敛判别法。。

绝对收敛判别法就是说，被积函数在积分区间里有负的函数值，这个时候加上绝对值，它是否收敛和原函数一致。

这一道题，刚刚想不通。最后化简得到的是

既然 $\alpha$ 可以随便去，那我取等于2，这个时候右边的式子是收敛的，但是并不能证明左边的式子也是收敛的。如果取1，这个时候右边的式子是发散的，这下可以证明左边的积分发散

反常积分，书里大部分讲的是如何判断是否收敛，对收敛值没有多说。

分别讲了在有限区间有瑕点怎么求积分，还有无限区间求积分，无限区间求积分又分在0处无界的各种函数求积分，和在∞这个瑕点附近求积分。

讲了比较判别法，极限比较判别法，和p判别法，绝对收敛判别法，和一些函数间的近似替代。

有些三角函数在求反常积分的时候是可以忽略的，比如sinx ，cosx，他们与x相比，当x趋于无穷的时候，这些三角函数的大小就可以忽略了，就和常数项一样，在无穷的时候对大局没有影响。

比如 $\int_{1}^{∞} sinx/x$ dx，这个积分是否收敛，可以用绝对收敛判别法，二者收敛与否是保持一致的。 $\int_{1}^{∞}$ lsinxl/xdx，只要第二个积分收敛，第一个积分也收敛。因为lsinxl<=1

所以lsinxl/x <=1/x，这时用p判别法，同区间对1/x的不当积分(Improper integral)是发散的，所以原积分是发散的。

用起来比较方便。