高中数学纲目

三角之目：2013年理数湖北卷题17

2022-05-16 本文已影响0人易水樵

2013年理数湖北卷题17

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 对应的边分别是 $a,b,c$ ，已知 $\cos 2A - 3 \cos(B+C)=1$ .

（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $\triangle ABC$ 的面积 $S=5\sqrt{3}, b=5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值.

【解答问题Ⅰ】

∵ 在 $\triangle ABC$ 中， $\cos(B+C)= - \cos A$ ,

代入已知条件可得：

$2 \cos^2 A+3 \cos A -2=0$

$(2\cos A-1)(\cos A+2)=0$

又∵ $\cos A \in (-1,1)$ ,

∴ $\cos A = \dfrac{1}{2}$ , $A=\dfrac{\pi}{3}$ .

【解答问题Ⅱ】

根据前节的结论可知： $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

又∵ $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc \sin A$ ,

∴ $bc = \dfrac{2 S_{\triangle ABC}}{\sin A} = 20$

$c = 4$

$a^2 = b^2+c^2-2bc \cdot \cos A=21$

根据正弦定理， $\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B}= \dfrac{c}{\sin C}= 2R$

$\sin B \sin C = \dfrac{bc \cdot \sin^2 A}{a^2}=\dfrac{5}{7}$

【提炼与提高】

本题难度中等，适合用作同步强化练习.

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