Lesson 001 —— 数据

数据（data）是事实或观察的结果，是对客观事物的逻辑归纳，是用于表示客观事物的未经加工的原始素材。数据是信息的表现形式和载体，可以使符号、文字、数字、语音、图像、视频等。

进制

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方式。

• 十进制

  • 数码：指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。

    十进制的基本符号是：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，我们把这些称之为十进制的数码，也就是基本符号，所有的十进制数都是由这十个数码组成。每位在加时都是“逢十进一”。

  • 位权：数制中每一固定位置对应的单位值称为位权。

    我们可以从 0 开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起，从右向左依次编号为0, 1, 2, ...；对称的，从小数点后的数位则为-1, -2, ...；而 n 位所代表的权的大小为 10n-1

• 二进制

  在计算机系统中采用的进位计数制。在二进制中，数用0和1两个符号来描述。计数规则是逢二进一，借一当二。

• 数制符号

  二进制 B （binary）

  八进制 O （octal）

  十进制 D （decimal）

  十六进制 H （hexadecimal）

进制转换

• 其它进制转十进制

  将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。

  例1： N=（10110.101）B=（？）D
  按权展开N=1*2^4+0*2^3+1*2^2+1*2^1+0*2^0+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3
  =16+4+2+0.5+0.125 =（22.625）D
  

• 将十进制转换为其它进制

  分两部分进行的即整数部分和小数部分。

  • 整数部分：（基数除法）

    把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；

    把上一次得的商在除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；

    继续上一步,直到最后的商为零,这时的余数就是新进制的最高位.

  • 小数部分： （基数乘法）

    把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位

    把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；

    继续上一步，直到小数部分变成零为止。或者达到预定的要求也可以。

• 二进制与八进制、十六进制的相互转换

  二进制转换为八进制、十六进制:它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可。

  八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。

二进制运算

• 算数运算

  二进制的算数运算包括：加、减、乘、除四则运算。

  1. 二进制的加法

     根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：

     0+0=0
     0+1=1+0=1
     1+1=0　（进位为1） 
     1+1+1=1 （进位为1）
     

     01-01

  2. 二进制的减法

     根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

     0－0=0
     1－1=0
     1－0=1
     0－1=1 （借位为1）
     

     01-02

  3. 二进制的乘法

     二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

     0×0=0
     0×1=1×0=0
     1×1=1
     

     01-03

  4. 二进制的除法

     二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

     01-04

     说明：乘除法分原码乘法和补码乘法。

• 逻辑运算

  二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。

  1. 逻辑“或”运算

     又称为逻辑加，可用符号“+”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

     0+0=0 或 0∨0=0
     0+1=1 或 0∨1=1
     1+0=1 或 1∨0=1
     1+1=1 或 1∨1=1
     

     可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。

  2. 逻辑“与”运算

     又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

     0×1=0 或 0·1=0 或 0∧1=0
     1×0=0 或 1·0=0 或 1∧0=0
     1×1=1 或 1·1=1 或 1∧1=1
     

     见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

  3. 逻辑“非”运算

     又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

  4. 逻辑“异或”运算

     “异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：

     00=0 或 00=0
     01=1 或 01=1
     10=1 或 10=1
     11=0 或 11=0
     

     可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1。

机器数与真值

• 机器数：一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号，正数为 0， 负数为 1 。
• 真值：将带符号的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

原码、反码、补码

为了将符号位参与运算，并且只保留加法，从而简化计算机运算，发明了原码、反码和补码。它们都是用有符号的二进制数表示的方法，均由符号位和数值位构成。

• 原码：原码是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余为表示值。

  [+1]原 = 0000 0001
  [-1]原 = 1000 0001
  

• 反码：正数的反码是其本身；负数的反码是其在原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

  [+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
  [-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反
  

• 补码：正数的补码是在其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后 +1（即在反码的基础上 +1）。

  [+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
  [-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
  [+0] = [0000 0000]原 = [0000 0000]反 = [0000 0000]补
  [-0] = [1000 0000]原 = [1111 1111]反 = [0000 0000]补
  

  在计算系统中，数值一律用补码来表示（存储）。主要原因：使用补码，可以将符号位和其余各位统一处理；同时，减法也可以按照加法来处理。另外，两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃；补码与原码的转换过程几乎是相同的。