GEB--读书笔记——形式系统

哥德尔、爱舍尔、巴赫——集异壁之大成   侯世达·美

最近两周在看商务印书馆出版的《哥德尔、爱舍尔、巴赫——集异壁之大成》一书。现在刚看到第四章——和声小迷宫部分。此书是一朵奇葩，此处作为读书随笔，仅对其中部分进行摘录并写下自己关于形式系统的一些思考。

形式系统简单的来说，可以理解为我们在数学物理中接触到的公式系统，印像最深的莫过于高考的数学证明题了。举个例子，tq系统，其中关于tq系统存在一个公理模式及一条推理规则：

公理模式：xqxt-,是一个公理，对任何一个短杠符号串x都是如此。

推理规则：设x、y、z都是短杠符号串。设xqytz是一个已有定理，那么，xyqytz-是一个新的定理。

此时，我们对其进行解释，令其中“t”代表“乘”（英文是times），“q”代表“相等”（英文为equal）。对于这个形式系统，我们可以用它来描述数学中的乘法。但是tq系统不等于乘法。

通过我们的语言，我们可以对形式系统进行解释，使之对于现实世界的数理逻辑变得有意义。但是我们用的每一个词，对于我们来说都是有“意义”的，在我们使用这个词时，会引导我们。越是普通的词，我们由它联想的就越多，其意义也就扎得越深。所以，某个人对一个普通词下定义，指望我们遵循这个定义，我们肯定不这么做。相反，我们会在很大程度上无意识地按照另一些东西的引导去做，那些东西是我们的心智在我们与这个词相关联的储备中所发现的。对于几何上的直线，我们对其会有先入为主的观念，因为“直”这个词，在语言中赋予了其不弯曲的意义。正因如此，欧几里得在其《几何原理》中，阐述了五条公设：

1.一条直线段可以联结两点；

2.一条直线上任何一条直线段可以无限延伸

3.给定一条直线段，可以以一个端点为圆心，以此线断为半径做一个圆

4.一切直角都彼此相等

5.如果两条直线与第三条直线相交时，在第三条直线的某一侧三线所夹的内角和小于两个直角和，则那两条直线沿着这一侧延伸足够长之后必然相交。

当人们摆脱对“直线”先入为主的观念时，此时，我们对第五公设的一个等价公设进行否定，该等价共设为：给定任一直线和不在直线上的一点，存在有一条，且仅有一条通过那个点，且永不与前一条直线相交的直线，无论两条直线延伸多远。

如果我们，断言没有这样的直线，则可以得到椭圆几何学；如果我们断言这样的直线至少有两条，就可以得到双曲几何学。

总结，在研究问题时，采用形式系统的手段，对目标进行抽象，有助于我们梳理问题逻辑，对问题的认识更全面、客观，避免使用文字语言带来潜意识的影响。