【复杂】第二章： 动力学、混沌和预测 · 逻辑斯蒂映射
许多研究这一类事物的科学家和数学家使用逻辑斯蒂模型的一个简化形式,逻辑斯蒂映射( logistic map),它也许是动力系统理论和混沌研究中最著名的方程。逻辑斯蒂映射中出生率和死亡率的效应被合成一个数,记作R。种群规模用“承载率”替代,记为x。这个简化模型问世之后,科学界和数学界很快就将种群规模、承载力等与现实世界的联系抛到脑后,转而着迷于这个方程本身,因为它的特性太让人震惊了。现在我们也来体验一下。
下面就是这个方程,其中Xt,是当前值,Xt+1则是下一步的值:
逻辑斯蒂映射.jpg
我给出逻辑斯蒂映射的方程是为了向你展示它有多简单。事实上,它是能抓住混沌本质——对初始条件的敏感依赖性——的最简单的系统之一。1971年,数学生物学家梅( Robert May)在著名的《自然》杂志上发表了一篇文章①分析逻辑斯蒂映射,引起了种群生物学家的关注。在此之前也有一些数学家对其进行了详细分析,包括乌拉姆( Stanislaw Ulam)、冯·诺依曼( John vonNeumann)、梅特罗波利斯②( Nicholas Metropolis)、保罗·斯坦( Paul Stein)和米隆·斯坦( Myron Stein)。但它真正变得有名是在20世纪80年代,物理学家费根鲍姆( Mitchell Feigenbaum)利用它展示了一大类混沌系统的共性。由于其显的简单性和深厚的历史,它成了介绍动力系统理论和混沌的一些主要概念的完美载体。
如果我们让R的值变化,逻辑斯蒂映射就变得非常有趣。我们先从R=2开始。x的初始值x0也必须介于0和1之间,姑且设为0.5。将它们代入逻辑斯蒂映射,得出x1为0.5。同样,x2也是0.5,后面也一样。因此,如果R=2,种群初始值为最大值的半,以后就会一直不变。现在让x0=0.2。你可以自己用计算器算一下(我用的一个最多显示7位小数的计算器)。结果更有意思了:
X0 = 0.2
X1 = 0.32
X2 = 0.4352
X3 = 0.4916019
X4 = 0.4998589
X5 = 0.5
X6 = 0.5
……
最终结果是一样的(永远是x,=0.5),但是选代了5次才得到。
用图可以看得更清楚。图2.10是x在前20步的值的图形。我用线将这些点连起来了,这样可以更清楚地看到,随着时间推移,x迅速收敛到0.5。
图2.10 R=2,X0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况.png
如果x0很大,比如0.99,又会怎样呢?图2.11显示了得到的图形。
图2.11 R=2,X0=0.99时逻辑斯蒂映射的变化情况.png
最终的结果还是一样的,不过过程要长一些,波动也更剧烈。
你可能已经猜到了:只要R=2,x最终都会到达0.5,并停在那里。0.5正是所谓的不动点( fixed point):到达这一点所花的时间依赖于出发点,但是一旦你到达了那里,你就会保持不动。如果你愿意,可以让R=2.5,再试一下,同样你会发现系统总是到达一个不动点,不过这次不动点是0.6。
R=3.1的情形更有趣。逻辑斯蒂映射的变化更加复杂了。图2.12是x0=0.2时的图形在这个例子中,x水远也不会停在一个不动点;它最终会在两个值(0.5580141和0.7645665)之间振荡。如果将前者代方程,就会得到后者,反过来也是一样,因此振荡会一直持续下去。不管x0取什么值,最后都会形成这个振荡。这种最终的变化位置(无论是不动点还是振荡)被称为“吸引子”,这个说法很形象,因为任何初始位置最终都会“被吸引到其中”。
图2.12 R=3.1,X0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况.png
往上一直到R等于大约3.4,逻辑斯蒂映射都会有类似的变化:在迭代一些步后,系统会在两个不同的值之间周期振荡(最终的振荡点由R决定)。因为是在两个值之间振荡,系统的周期为2。
但是如果R介于3.4和3.5之间,情况又突然变了。不管x0取何值,系统最终都会形成在四个值之间的周期振荡,而不是两个。例如,如果R=3.49,x0=0.2,最终的结果就像图2.13那样。
图2.13 R=3.49.X0=0.2时逻辑斯蒂映射变化情况.png
x的值很快就开始在四个不同的值之间周期振荡(如果你想道,它们分别大约是0.872,0.389,0.829和0.494)。也就是说,在3.4和3.5之间的某个R值,最终的振荡周期突然从2增到4.
在3.54和3.55之间的某个R值,周期再次突然倍增,一下跃升到8。在3.564和3.565之间的某个值周期跃升到16。在5687和3.5688之间周期又跃升到32。周期一次又一次倍增前后R的间隔也越来越小,很快,在R大约等于3.569946时周期已趋向于无穷。在此之前,逻辑斯蒂映射的变化大致都可以预测。如果R值给定,从任何x0点出发的最终长期变化都能预测得到:R小于3.1时会到达不动点,R介于3.1和3.4之间时会形成双周期振荡,等等。
但是当R等于大约3.569946时,x的值不再进入振荡,它们会变成混沌。下面解释一下。将x,x1,x…的值组成的序列称为x的轨道。在产生混沌的R值,让两条轨道从非常接近的x值出发,结果不会收敛到同一个不动点或周期振荡,相反它们会逐渐发散开。在R=3.569946时,发散还很慢,但如果将R设为4.0,我就会发现轨道极为敏感地依赖于x0。我们先将x0设为0.2,对逻辑斯蒂映射进行迭代,得到一条轨道。然后细微地变动一下x0,让x。=0.200000再对逻辑斯蒂映射进行迭代得到第二条轨道。图2.14中的实心圆圈连成的实线就是第一条轨道,空心圆圈连成的虚线则是第二条轨道。
图2.14 R=4.0时逻辑斯蒂映射的两条轨道：X0=0.2和X0=0.2000000001.png
这两条轨道开始的时候很接近(非常接近,以至于实线轨道把虚线轨道都盖住了),但在大约30次迭代之后,它们明显分开了,很快就不再具有相关性。这就是“对初始条件的敏感依赖性”的由来。
我们已经看到有三种不同的最终状态(吸引子):不动点周期和混沌(混沌吸引子有时候也称为“奇怪吸引子”)。吸引子的类型是动力系统理论刻画系统行为的一种方式。
我们再仔细来看看混沌行为到底有多不寻常。逻辑斯蒂映射极为简单,并且完全是确定性的:每个x值都有且仅有值x。然而得到的混沌轨道看上去却非常随机—事实上逻辑斯蒂映射还被用来在计算机中生成伪随机数。因此,表面上的随机可以来自非常简单的确定性系统。
此外,对于产生混沌的R值,如果初始条件x0有任何的不确定性,对一定时间之后的轨道就无法再预测了。R=4时我们已经看到这种状况。如果我们对x。不能精确到小数点后第10位——大多数实验观察都做不到这么精确一那么大约在=30时,x的值就无法预测了。对于任何能产生混沌的R值,只要x0有不确定性,不管精确到小数点后多少位,最终都会在t大于某个值时变得无法预测。
数学生物学家梅对这些惊人的特性进行了总结,与庞加莱遥相呼应：
简单的确定性方程(1)(即逻辑斯蒂映射)能产生类似于随机噪声的确定性轨道,这个事实有着让人困扰的实际含义。例如,这就意味着种群调查数据中那种明显的不稳定波动不一定表明环境的变化莫测或是采样有错误:它们有可能就是像方程(1)这样完全确定性的种群数量变化关系所导致的……另外,还可以看到,在混沌中,不管初始条件有多接近,在足够长的时间之后,它们的轨道还是会相互分开。这意味着,即使我们的模型很简单,所有的参数也都完全确定,长期预测也仍然是不可能的。
简而言之,系统存在混沌也就意味着,拉普拉斯式的完美预测不仅在实践中无法做到,在原则上也是不可能的,因为我们永远也无法知道x0小数点后的无穷多位数值。这是一个非常深刻的负面结论,它与量子力学一起,摧毁了19世纪以来的乐观心态——认为牛顿式宇宙就像钟表一样沿着可预测的路径运行。
但是对逻辑斯蒂映射的研究是不是也会产生一些正面作用呢?对于试图发现随时间变化的系统的一般原则的动力系统理论,它能有所助益吗?事实上,对逻辑斯蒂等映射的深入研究也已经得到了同样深刻的正面结果—从中发现了混沌系统的普遍特征。
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