数学建模系列笔记1：线性规划

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1-8 统计基础

统计所干的事情就是：

抽样，收集数据，判断总体大致服从什么分布
估计总体分布的参数值，也就是参数估计
检验总体分布和参数是否“正确”，也就是假设检验
运用样本推断估计总体的应用问题统称为应用统计，如回归分析、多元分析、随机过程、时间序列分析、生存分析、广义线性模型等

统计就是在样本和总体之间建立桥梁

2-1-1 如何建立数学规划模型（上）

三个要素：决策变量decision variable，目标函数objective function，约束条件 constraints.

约束条件所确定的x的范围称为可行域
满足约束条件的解x称为可行解
同时满足约束条件和目标函数的解x称为最优解 optimal solution
最优解所对应的目标函数值称为 最优值 optimum

线性规划模型
$min(max)\quad z = \sum_{j=1}^n c_jx_j\\ s.t. \\ x_1,x_2,…,x_n:可以取非整数的连续值$

2-1-2 如何建立数学规划模型（下）

要领一：决策变量尽量是通量，下标尽量多

要领二：模型尽量不要出现数字

要领三：决策变量尽量的多

要领四：规范的数学规划模型不允许出现分式，更不能将决策变量放在分母里。

要领五：约束条件的右边尽量不要出现变量。

要领六：建立模型时，尽量用线性模型。

2-2-1 灵敏度分析（上）

模型稳定性分析（连续性线性规划）

目标函数系数的灵敏度分析（研究最优解在什么范围内不变）
约束条件的灵敏度分析

影子价格：在资源得到最优配置，使总效益最大时，该资源投入量每增加一个单位所带来总收益的增加量。

2-2-2 灵敏度分析（下）

2-3-1 整数规划（上）

纯整数规划：所有决策变量均取整数
混合整数规划：部分决策变量取整数
0-1整数规划：决策变量只能取0或1

2-3-2 整数规划（下）

2-4-1 0-1规划模型

对于只有两种状态的决策变量，“1”表示被选中，“0”表示没选中。
$min \quad z= \sum_{j=1}^n c_jx_j\\ s.t.= \left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\leq b_i,i=1,…,m \\ 0\leq x_j \leq 1,整数,j = 1,…,n \end{array} \right.\\ 决策变量x_j称为0-1型变量，或二进制变量$
指派问题：若干项任务，每项任务必须且有一人承担，每人只能承担一项，不同成员承担不同的任务效益（或者成本不同），怎样分配各项任务使总效益最大（成本最低）。

2-5-1 非线性规划模型

研究对象时非线性函数的数值最优化问题，运筹学的重要分支之一。若静态最优化问题的目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，就可以应用非线性规划的方法处理。
$min \quad f(x)\\ s.t. \quad g_i(x)\leq 0, i = 1,2,…,l\\ \quad h_j(x) = 0, j =1,2,…,m\\ f、g_i和h_i中至少有一个是x的非线性函数称为非线性规划。\\ 模型中满足所有约束条件的变量x的集合\\ D = \{x \in R^n:g(x)\leq 0,i=1,2,…,l; h_j(x)=0,j=1,2,…,m\}称为可行域。x\in D称为可行解。$

2-6-1 模糊线性规划

定义：设U是论域，称映射
$\mu_A:U\rightarrow [0,1]\\ x \rightarrow \mu_A \in [0,1]$
确定了一个U上的模糊子集 $A$ 。映射 $\mu_A$ 称为 $A$ 隶属函数。

约束条件带有弹性的模糊线性规划为：
$min \quad f = t(x_0)\\ s.t.\left\{\begin{array}{rcl} t_i(x) = [b_i,d_i],i = 1,2,…,m\\ x\geq 0 \end{array}\right.\\ t_i = [b_i,d_i]表示当d_i = 0时，t_i(x) = b_i,d_i>0时 t_i(x)\in (b_i-d_i,b_i+d_i)$
模糊线性规划——化为普通线性规划