幂函数簇

2019-12-16  本文已影响0人  寻松点点

零、总结

奇函数 偶函数
指数为正 y=x；n=1 y=x^2；n=2
指数为负 y=\frac{1}{x}；n=-1 y=\frac{1}{x^2}；n=-2
类似y=\frac{1}{x^2}
y=\frac{1}{x^2+1} 偶函数;\int \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=arctanx+C
y=\frac{1}{x^2-1} 偶函数

一、y=x^{2n}簇

y=x^{2n}；n=1,2,3 \cdots
y=x^2为代表

image.png
  1. 是一些列偶函数
  2. 点（1,1）（-1,1）是函数簇的增长拐点
  3. 指数2n越大，函数值增长趋势越靠近y轴

二、y=x^{(2n-1)}簇

y=x为代表

image.png
  1. 是一些列奇函数
  2. 点（1,1）（-1,-1）是函数簇的增长拐点
  3. 指数2n-1越大，函数值增长趋势越靠近y轴

三、y=\frac{1}{x^{(2n)}}簇

y=\frac{1}{x^{(2n)}}；n=1,2,3 \cdots
y=\frac{1}{x^2}为代表

image.png

四、y=\frac{1}{x^{(2n-1)}}簇

y=\frac{1}{x}为代表

image.png

零壹、小结

奇函数 偶函数
指数为正 y=x；n=1 y=x^2；n=2
指数为负 y=\frac{1}{x}；n=-1 y=\frac{1}{x^2}；n=-2

五、y=\frac{1}{x}衍生（移动和缩放）

移动：左右；上下

右移动：y=\frac{1}{x-a}
左移动：y=\frac{1}{x+a}

左右移动
上下移动

缩放

y=\frac{a}{x};

image.png

六、y=\frac{1}{x^2}衍生

移动

y=\frac{1}{(x+1)^2}
y=\frac{1}{(x-1)^2}

左右移动

y=\frac{1}{x^2+1}
y=\frac{1}{x^2-1}

image.png

y=\frac{1}{x^2}、y=\frac{1}{x^2+1}、y=\frac{1}{x^2-1}虽然看起来有联系，但图像性质区别很大，不归属于一簇

零贰、小结

奇函数 偶函数
指数为正 y=x；n=1 y=x^2；n=2
指数为负 y=\frac{1}{x}；n=-1 y=\frac{1}{x^2}；n=-2
类似y=\frac{1}{x^2}
y=\frac{1}{x^2+1} 偶函数;\int \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=arctanx+C
y=\frac{1}{x^2-1} 偶函数

七、y=\frac{1}{x^2+a}函数簇

1、y=\frac{1}{x^2+1}为代表

image.png

2、y=\frac{1}{x^2+1}、y=\frac{1}{x^2+2}、y=\frac{2}{x^2+1}

image.png

image.png

0、函数簇

image.png

4、y=\frac{1}{x^2+1}图像围成面积(积分)

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=\int _{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}+ \int _{0}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}
=2\cdot \int _{0}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}
=2\cdot \lim\limits_{a \to \infty } { \int _{0}^{a} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx} }
=2\cdot \lim\limits_{a \to \infty }arctanx|_{0}^a
=2\cdot \frac{\pi}{2}
=\pi

求函数求定积分后，慢慢看到了和高斯正态分布的一点联系。
因为对高斯正态分布求定积分后得到的数值是1。
再次把Gaussian Distribution公式给摆出来。
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi\sigma} } \cdot e^{ \frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{2} } \cdot e^{ \frac{-(x)^2}{2}}

image.png
image.png
上一篇 下一篇

猜你喜欢

热点阅读