3.4 推导测不准原理 Generalized uncertai

2020-06-20 本文已影响0人莎野椰

测不准原理我们只知道一个距离，动量的关系式，那么它是怎么来的？可以从数学中推导吗？线性代数为我们提供一个解决办法。

既然想推导测不准定律，那么就要从客观测量Q的方差入手

$\sigma_Q^2 = \langle (\hat Q - \langle Q \rangle )^2 \rangle$
- 其中期望 $\langle Q \rangle 简化为 \mu_Q$
  $=\langle \psi | (\hat Q - \mu_Q)^2\rangle$
  $=\langle \psi | (\hat Q - \mu_Q) (\hat Q - \mu_Q) \rangle$
- $(\hat Q - \mu_Q)和哈密顿量一样是厄米算符$
  $= \langle (\hat Q - \mu_Q) \psi | (\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle$
- 简化：定义 $|f\rangle = |(\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle$
  所以上式 $= \langle f|f\rangle$
同理：假设还存在另一个可观测量R
$\sigma_R^2 = \langle (\hat R - \langle R \rangle )^2 \rangle$
- 其中期望 $\langle R \rangle 简化为 \mu_R$
  $\vdots$
  $= \langle g|g\rangle$

经过上述推导，可以得到方差相乘等于：
$\sigma_Q^2 \sigma_Q^2 = \langle f|f\rangle \langle g|g \rangle$
根据Schwarz不等式：
$\langle f|f\rangle \langle g|f \rangle \geq | \langle f|g\rangle |^2$
然后假设复数z,复数的模满足下面不等式：
$|z|^2 = |Re(z)|^2 + |Im(z)|^2 \geq |Im(z)|^2 = [ \frac{1}{2i} (z-z^*) ]^2$
所以将上述关系式带入Schwarz不等式：
$\langle f|f\rangle \langle g|f \rangle \geq | \langle f|g\rangle |^2 \geq \left( \frac 1 {2i} ( \langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle) \right)^2$

根据上面推导得到
$\sigma_Q^2 \sigma_Q^2 \geq \left( \frac 1 {2i} ( \langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle) \right)^2$
和定义：
$|f\rangle = |(\hat Q - \mu_Q) \psi \rangle$
$|g\rangle = |(\hat R - \mu_R) \psi \rangle$
化简 $\langle f|g\rangle$
$\langle f|f\rangle = \langle (\hat Q - \mu_Q) \psi | (\hat R - \mu_R) \psi \rangle = \langle \psi | (\hat Q - \mu_Q) (\hat R - \mu_R) \psi \rangle$

$= \langle \psi|(\hat Q \hat R - \mu_Q \hat R - \mu_R \hat Q + \mu_Q \mu_R ) \psi \rangle$

$= \langle \psi | \hat Q \hat R \psi \rangle - \mu_Q \langle \psi |\hat R \psi \rangle - \mu_R \langle \psi | \hat Q \psi \rangle + \mu_Q \mu_R\langle \psi | \psi \rangle$

$= \langle \hat Q \hat R \rangle - \mu_Q \mu_R -\mu_Q \mu_R + \mu_Q \mu_R \cdot 1$

$= \langle \hat Q \hat R \rangle - \mu_Q \mu_R$
同理化简 $\langle g|f\rangle$
$\langle g|f\rangle$
$\vdots$
$\langle g|f\rangle = \langle \hat R \hat Q \rangle - \mu_Q \mu_R$
结果
$\langle f|g\rangle -\langle g|f\rangle = \langle \hat Q \hat R \rangle - \langle \hat R \hat Q \rangle$
$= \langle \hat Q \hat R - \hat R \hat Q \rangle$
$= \langle [\hat Q, \hat R]\rangle$