第11节逻辑回归 (Logistic Regression)|机

文章转载自Google,最近更新：2018-07-26

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具体内容如下:

1.逻辑回归 (Logistic Regression)：计算概率

许多问题需要将概率估算值作为输出。逻辑回归是一种极其高效的概率计算机制。实际上，您可以通过下两种方式之一使用返回的概率：

• “按原样”
• 转换成二元类别。

我们来了解一下如何“按原样”使用概率。假设我们创建一个逻辑回归模型来预测狗在半夜发出叫声的概率。我们将此概率称为： p(bark | night)

如果逻辑回归模型预测 p(bark | night) 的值为 0.05，那么一年内，狗的主人应该被惊醒约 18 次：
startled = p(bark | night) * nights
18 ~= 0.05 * 365

在很多情况下，您会将逻辑回归输出映射到二元分类问题的解决方案，该二元分类问题的目标是正确预测两个可能的标签（例如，“垃圾邮件”或“非垃圾邮件”）中的一个。之后的单元会重点介绍这一内容。

您可能想知道逻辑回归模型如何确保输出值始终落在 0 和 1 之间。巧合的是，S 型函数生成的输出值正好具有这些特性，其定义如下：

S 型函数会产生以下曲线图：

图 1

图 1：S 型函数。

如果 z 表示使用逻辑回归训练的模型的线性层的输出，则 S 型(z) 函数会生成一个介于 0 和 1 之间的值（概率）。用数学方法表示为：

其中：

• y' 是逻辑回归模型针对特定样本的输出。
• z 是 b + w1x1 + w2x2 + … wNxN
  • “w”值是该模型学习的权重和偏差。
  • “x”值是特定样本的特征值。

请注意，z 也称为对数几率，因为 S 型函数的反函数表明，z 可定义为标签“1”（例如“狗叫”）的概率除以标签“0”（例如“狗不叫”）的概率得出的值的对数：

以下是具有机器学习标签的 S 型函数：

图 2：逻辑回归输出

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以下内容是逻辑回归推断计算,具体如下:
假设我们的逻辑回归模型具有学习了下列偏差和权重的三个特征：

• b = 1
• w1 = 2
• w2 = -1
• w3 = 5

进一步假设给定样本具有以下特征值：

• x1 = 0
• x2 = 10
• x3 = 2

因此，对数几率：

将是： (1) + (2)(0) + (-1)(10) + (5)(2) = 1

因此，此特定样本的逻辑回归预测值将是 0.731：

图 3：73.1% 的概率

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关键字词

1)二元分类 (binary classification)
一种分类任务，可输出两种互斥类别之一。例如，对电子邮件进行评估并输出“垃圾邮件”或“非垃圾邮件”的机器学习模型就是一个二元分类器。

2)逻辑回归 (logistic regression)
一种模型，通过将 S 型函数应用于线性预测，生成分类问题中每个可能的离散标签值的概率。虽然逻辑回归经常用于二元分类问题，但也可用于多类别分类问题（其叫法变为多类别逻辑回归或多项回归）。

3)S 型函数 (sigmoid function)
一种函数，可将逻辑回归输出或多项回归输出（对数几率）映射到概率，以返回介于 0 到 1 之间的值。S 型函数的公式如下：

在逻辑回归问题中，σ 非常简单：

换句话说，S 型函数可将 σ 转换为介于 0 到 1 之间的概率。在某些神经网络中，S 型函数可作为激活函数使用。

2.模型训练

逻辑回归的损失函数

线性回归的损失函数是平方损失。逻辑回归的损失函数是对数损失函数，定义如下：

其中：

• (xy)ϵD 是包含很多有标签样本 (x,y) 的数据集。
• “y”是有标签样本中的标签。由于这是逻辑回归，因此“y”的每个值必须是 0 或 1。
• “y'”是对于特征集“x”的预测值（介于 0 和 1 之间）。

对数损失函数的方程式与 Shannon 信息论中的熵测量密切相关。它也是似然函数的负对数（假设“y”属于伯努利分布）。实际上，最大限度地降低损失函数的值会生成最大的似然估计值。

逻辑回归中的正则化

正则化在逻辑回归建模中极其重要。如果没有正则化，逻辑回归的渐近性会不断促使损失在高维度空间内达到 0。因此，大多数逻辑回归模型会使用以下两个策略之一来降低模型复杂性：

• L₂ 正则化。
• 早停法，即，限制训练步数或学习速率。

（我们会在之后的单元中讨论第三个策略，即 L₁ 正则化。）

假设您向每个样本分配一个唯一 ID，且将每个 ID 映射到其自己的特征。如果您未指定正则化函数，模型会变得完全过拟合。这是因为模型会尝试促使所有样本的损失达到 0 但始终达不到，从而使每个指示器特征的权重接近正无穷或负无穷。当有大量罕见的特征组合且每个样本中仅一个时，包含特征组合的高维度数据会出现这种情况。

幸运的是，使用 L₂ 或早停法可以防止出现此类问题。

总结:

• 逻辑回归模型会生成概率。
• 对数损失函数是逻辑回归的损失函数。
• 逻辑回归被很多从业者广泛使用。

关键字词

1)早停法 (early stopping)
一种正则化方法，涉及在训练损失仍可以继续减少之前结束模型训练。使用早停法时，您会在基于验证数据集的损失开始增加（也就是泛化效果变差）时结束模型训练。

2)对数损失函数 (Log Loss)
二元逻辑回归中使用的损失函数。

3)L₂ 损失函数 (L₂ loss)

请参阅平方损失函数。

3)L₂ 正则化 (L₂ regularization)

一种正则化，根据权重的平方和来惩罚权重。L₂ 正则化有助于使离群值（具有较大正值或较小负值）权重接近于 0，但又不正好为 0。（与 L1 正则化相对。）在线性模型中，L₂ 正则化始终可以改进泛化。

4)L₁ 正则化 (L₁ regularization)

一种正则化，根据权重的绝对值的总和来惩罚权重。在依赖稀疏特征的模型中，L₁ 正则化有助于使不相关或几乎不相关的特征的权重正好为 0，从而将这些特征从模型中移除。与 L₂ 正则化相对。