数学分析理论基础10:函数极限存在的条件与两个重要极限
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溺于恐
函数极限存在的条件
归结原则(Heine定理)
定理:设f在上有定义,
存在
对任何含于
且以
为极限的数列
,
都存在且相等
证明:
注:
1.简述:
2.若存在一个以为极限的数列
使
不存在,或存在两个都以
为极限的数列
与
使
与
都存在而不相等,则
不存在
3.归结原则把函数极限归结为数列极限问题来处理,可应用归结原则和数列极限的有关性质证明函数极限性质
例:证明不存在
证:
归结原则的其他类型:
定理():设函数f在
上有定义,
对任何以
为极限的递减数列
,有
单调有界
定理:设f为定义在上的单调有界函数,则右极限
存在
证明:
柯西准则
设函数f在上有定义,
存在
使得
有
证明:
极限不存在
不存在
,
使得
例:证明不存在
证:
两个重要的极限
证明:
证明:
注:
例:求
解: