数学分析理论基础10：函数极限存在的条件与两个重要极限

2019-01-19 本文已影响10人溺于恐

函数极限存在的条件

归结原则(Heine定理)

定理：设f在 $U^\circ(x_0;\delta')$ 上有定义, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$ 对任何含于 $U^\circ(x_0;\delta')$ 且以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$ , $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)$ 都存在且相等

证明：

$必要性$

$设\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists 正数\delta\le \delta'使得$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta时有$

$|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$设数列\{x_n\}\subset U^\circ(x_0;\delta')且\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0$

$对\delta\gt 0,\exists N\gt 0使得$

$n\gt N时有0\lt |x_n-x_0|\lt \delta$

$\therefore |f(x_n)-A|\lt \varepsilon$

$即\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

$充分性$

$设对任何数列\{x_n\}\subset U^\circ(x_0;\delta')且\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0$

$有\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

$则\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

$若不然,即x\to x_0时f不以A为极限$

$则\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0$

$\exists x满足0\lt |x-x_0|\lt \delta,但有|f(x)-A|\ge \varepsilon_0$

$依次取\delta=\delta',{\delta'\over 2},{\delta'\over 3},\cdots,{\delta'\over n},\cdots$

$则存在相应的点x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots使得$

$0\lt |x_n-x_0|\lt {\delta'\over n},而|f(x_n)-A|\ge \varepsilon_0,n=1,2,\cdots$

$显然,数列\{x_n\}\subset U^\circ(x_0;\delta')且\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0$

$但n\to \infty时f(x_n)不趋于A,与假设矛盾$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.简述： $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow 对任何x_n\to x_0(n\to \infty)有\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

2.若存在一个以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}$ 使 $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$ 不存在,或存在两个都以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x'_n\}$ 与 $\{x''_n\}$ 使 $\lim\limits_{n\to \infty}f(x'_n)$ 与 $\lim\limits_{n\to \infty}f(x''_n)$ 都存在而不相等,则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在

3.归结原则把函数极限归结为数列极限问题来处理,可应用归结原则和数列极限的有关性质证明函数极限性质

例：证明 $\lim\limits_{x\to 0}sin{1\over x}$ 不存在

证：

$设x'_n={1\over n\pi},x''_n={1\over 2n\pi+{\pi\over 2}}(n=1,2,\cdots)$

$显然,x'_n\to 0,x''_n\to 0(n\to \infty)$

$sin{1\over x'_n}=0\to 0,sin{1\over x''_n}=1\to 1(n\to \infty)$

$\therefore 由Heine定理\lim\limits_{x\to 0}sin{1\over x}不存在$

归结原则的其他类型：

定理( $x\to x_0^+$ )：设函数f在 $U_+^\circ(x_0)$ 上有定义, $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$$\Leftrightarrow$ 对任何以 $x_0$ 为极限的递减数列 $\{x_n\}\subset U_+^\circ(x_0)$ ,有 $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

单调有界

定理：设f为定义在 $U_+^\circ(x_0)$ 上的单调有界函数,则右极限 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ 存在

证明：

$不妨设f在U_+^\circ(x_0)上递增$

$\because f在U_+^\circ(x_0)上有界$

$\therefore 由确界原理\exists\underset{x\in U_+^\circ(x_0)}{inf}f(x),记为A$

$下证\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists x'\in U_+^\circ(x_0)使得$

$f(x')\lt A+\varepsilon$

$取\delta=x'-x_0\gt 0$

$由f单调递增$

$\forall x\in (x_0,x')=U_+^\circ(x_0;\delta)有$

$A-\varepsilon\lt f(x)\lt A+\varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\qquad\mathcal{Q.E.D}$

柯西准则

设函数f在 $U_+^\circ(x_0;\delta')$ 上有定义, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在 $\Leftrightarrow$$\forall \varepsilon\gt 0,\exists 正数\delta\lt \delta'$ 使得 $\forall x',x''\in U^\circ(x_0;\delta)$ 有 $|f(x')-f(x'')|\lt \varepsilon$

证明：

$必要性$

$设\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

$则\forall \varepsilon\gt 0,\exists 正数\delta\lt \delta'使得$

$\forall x\in U^\circ(x_0;\delta)有|f(x)-A|\lt {\varepsilon\over 2}$

$\therefore \forall x',x''\in U^\circ(x_0;\delta)有$

$|f(x')-f(x'')|\le |f(x')-A|+|f(x'')-A|\lt {\varepsilon\over 2}+{\varepsilon\over 2}=\varepsilon$

$充分性$

$设数列\{x_n\}\subset U^\circ(x_0;\delta)且\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists 正数\delta\lt \delta'使得$

$\forall x',x''\in U^\circ(x_0;\delta),有|f(x')-f(x'')|\lt \varepsilon$

$\because x_n\to x_0(n\to \infty)$

$对上述\delta\gt 0,\exists N\gt 0使得$

$n,m\gt N时有x_n,x_m\in U^\circ(x_0;\delta)$

$\therefore |f(x_n)-f(x_m)|\lt \varepsilon$

$\therefore 由数列的柯西收敛准则$

$数列\{f(x_n)\}的极限存在,记为A$

$即\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

$\forall x\in U^\circ(x_0;\delta),n\gt N时有$

$|f(x)-f(x_n)|\lt \varepsilon$

$令n\to \infty则|f(x)-A|\le \varepsilon$

$即\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A\qquad \mathcal{Q.E.D}$

极限不存在

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在 $\Leftrightarrow$$\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0$ , $\exists x',x''\in U^\circ(x_0;\delta)$ 使得 $|f(x')-f(x'')|\ge \varepsilon_0$

例：证明 $\lim\limits_{x\to 0}sin{1\over x}$ 不存在

证：

$取\varepsilon_0=1,\forall \delta\gt 0$

$设正整数n\gt {1\over \delta}$

$令x'={1\over n\pi},x''={1\over n\pi+{\pi\over 2}}$

$则有x',x''\in U^\circ(x_0;\delta)$

$|sin{1\over x}-sin{1\over x''}|=1=\varepsilon$

$由柯西准则,极限\lim\limits_{x\to 0}sin{1\over x}不存在$

两个重要的极限

$\lim\limits_{x\to 0}{sinx\over x}=1$

证明：

$sinx\lt x\lt tanx(0\lt x\lt {\pi\over 2})$

$除sinx可得$

$1\lt {x\over sinx}\lt {1\over cosx}$

$\therefore cosx\lt {sinx\over x}\lt 1$

$上式以-x代x时不变$

$\therefore 不等式对0\lt |x|\lt {\pi\over 2}成立$

$\lim\limits_{x\to 0}cosx=1$

$由函数极限的迫敛性可得$

$\lim\limits{sinx\over x}=1\qquad\mathcal{Q.E.D}$

$\lim\limits_{x\to \infty}(1+{1\over x})^x=e$

证明：

$要证\lim\limits_{x\to \infty}(1+{1\over x})^x=e$

$即证\lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x})^x=e,\lim\limits_{x\to -\infty}(1+{1\over x})^x=e$

$下证\lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x})^x=e$

$对数列极限\lim\limits_{n\to \infty}(1+{1\over n})^n=e$

$\because \lim\limits_{n\to \infty} (1+{1\over n+1})^n=\lim\limits_{n\to \infty} (1+{1\over n})^{n+1}=e$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in Z_+,当n\gt N时有$

$e-\varepsilon\lt (1+{1\over n+1})^n\lt (1+{1\over n})^{n+1}\lt e+\varepsilon$

$取X=N,当x\gt X时,令n=[x],则$

$(1+{1\over n+1})^n\lt (1+{1\over x})^x\lt (1+{1\over n})^{n+1}$

$\therefore e-\varepsilon\lt (1+{1\over x})^x\lt e+\varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x})^x=e$

$下证\lim\limits_{x\to -\infty}(1+{1\over x})^x=e$

$以-y代x可得$

$(1+{1\over x})^x=(1-{1\over y})^{-y}$

$=({y-1\over y})^{-y}=(1+{1\over y-1})^y$

$且x\to -\infty时y\to +\infty$

$\therefore \lim\limits_{x\to -\infty}(1+{1\over x})^x=\lim\limits_{y\to +\infty}(1+{1\over y-1})^{y-1}(1+{1\over y-1})=e\qquad \mathcal{Q.E.D}$

注： $\lim\limits_{\alpha\to 0}(1+\alpha)^{1\over \alpha}=e$

例：求 $\lim\limits_{n\to \infty}(1+{1\over n}-{1\over n^2})^n$

解：

$(1+{1\over n}-{1\over n^2})^n\lt (1+{1\over n})^n\to e(n\to \infty)$

$n\gt 1时有(1+{1\over n}-{1\over n^2})=(1+{n-1\over n^2})^{{n^2\over n-1}-{n\over n-1}}\ge (1+{n-1\over n^2})^{{n^2\over n-1}-2}$

$由归结原则,取x_n={n^2\over n-1},n=2,3,\cdots$

$\lim\limits_{n\to \infty}(1+{n-1\over n^2})^{{n^2\over n-1}-2}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+{n-1\over n^2})^{{n^2\over n-1}}$

$=\lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x})^x=e$

$\therefore 由数列极限的迫敛性可得$

$\lim\limits_{n\to \infty}(1+{1\over n}-{1\over n^2})^n=e$