高中数列之目~入门级的数列大题：2008年理数海南卷题17

2021-01-21 本文已影响0人易水樵

已知 $\{a_n\}$ 是一个等差数列，且 $a_2=1,a_5=-5$ .

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$ ；

（2）求 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$ 的最大值.

【解答第1问】

$\because \; a_2=1,a_5=-5,$
$\therefore 3d=a_5-a_2 = -6, \;\therefore\; d=-2$ .

$\therefore a_1=3, a_n=3+(n-1)(-2)=5-2n$

通项公式为： $a_n=5-2n$ .

【解答第2问】

$\because\; a_n=5-2n, \;\therefore\; a_3=-1$

$\forall n \leqslant 2, \;a_n \geqslant 1, a_{n-1} \lt a_n;$
$\forall n \gt 2, a_n \lt 0, \;\therefore a_{n-1} \gt a_{n}$

所以，当 $n=2$ ， $S_n$ 取得最大值： $S_{max}=a_1+a_2=4$ .

【提炼与提高】

这是一道2008年的高考题，难度不高，但却体现了一些重要的基本原则：数列是特殊的函数。数列的通项公式、求和公式与递推公式存在密切的联系。

根据通项公式可以判断指定项的正负性，从而判断其和数列的单调性。

有些数列的通项公式较为复杂，但这一原则依然是有效的。参见：2013年理科数学全国卷二题16.