线代--空间的基

2022-07-16  本文已影响0人  倪桦

1、空间的基的概念

若m个向量生成n维\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}空间，m最小是为n；
若m > n，则\vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{m}线性相关；
若m个n维向量线性无关，m最大为n。
\color {skyblue} { \small理解线性无关:}
\color {skyblue} {\small 求证线性无关 等价于求证是否存在一组全为的系数k,使得k_{1} \cdot \vec v_{1} \add \ k_{2} \cdot \vec v_{2} \add \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots \add \ k_{m} \cdot \vec v_{m} = 0\Leftrightarrow 转而判断m个n维向量组成的系数矩阵 A \cdot \vec k = 0 有唯一零解}
\color {skyblue} { \small m个不共线的n维向量组成的线性系统A\cdot \vec k =0，是一个方程数大于未知数的线性系统，且行阶梯式的非零行个数等于未知数个数，所以有唯一零解，证得m个(m < n)个n维向量线性无关}

若一组向量可以生成整个n维空间，且线性无关，这组向量一定有n个，则称这组向量为这个n维空间的一组\color {red} {基(bases)}

因为可以生成整个n维空间的n个线性无关的n维向量可以有无数组，所以一个空间可以有无数组基。

从一个低维空间--二维空间来看待空间的基


在二维空间中，任取两个不共线的向量\vec u和\vec v，它们就是二维空间的一组基，任意第三个向量都可以表示为\vec u和\vec v的线性组合。

基可以理解为一个初等数学接触的坐标系概念，\vec e_{1}，\vec e_{2}是二维空间一组坐标系，\vec u，\vec v也是一组坐标系，在这些坐标系下都可以观测到二维空间的任意一个点，区别在于不同的坐标系空间中同一个点的表示方式是不一样的。

给定n维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合，且这个向量在这组基下的表示方法唯一。

证明：对n维空间中的任意一个向量\vec u，求证是否一定存在一组k，使得：
k_{1} \cdot \vec e_{1} + k_{2} \cdot \vec e_{2} + \cdots + k_{n} \cdot \vec e_{n} = \vec u
等价于求解线性系统:\begin {bmatrix}1&0&\cdots 0\\ 0&1&\cdots 0 \\ \cdots& \cdots&\ \cdots \\ 0&0&\cdots 1 \end {bmatrix} \ \begin {bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \cdots \\ k_{n} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \cdots \\ u_{n} \end {bmatrix}
对于这个线性系统，系数矩阵A一定可逆，所以一定有解，且有唯一解(A \cdot x =b \to x = A^{-1} \cdot b)

2、空间的基的性质

对于m个线性无关的n维向量，若m < n，这m个向量无法生成整个空间；降低到三维空间来理解就是，如果只给出两个三维空间的向量\vec u,\ \vec v，它们只能形成一个平面，则这两个向量的任意线性组合都在平面上，无法生成不在平面的向量。当m =n 时，m个线性无关的n维向量可以生成整个空间，且可以成为空间的基。当m >n，此时这m个向量变成线性相关组，可以生成整个空间但不是空间的基。

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读