2018-04-14 开胃学习金融系列 CDOs

在这第一个文章里，我将简要回顾证券化。主要是因为我想深入学习一次高斯Copula模型。

我们还将讨论CDO或抵押债务债务是如何从基础债券池中构建的。
我们将会看到如何对它们进行定价，并且还将讨论臭名昭着的高斯Copula模型。

• 证券化是由现金流构建新security的过程，由相关证券池产生，pool of underlying securities

• 证券化背后的经济理论基础是它能够建立具有广泛风险特征的新证券，enables the construction of new securities, with a broad range of risk profiles

• 因此，广泛的投资者可能会对这些新证券感兴趣，即使他们对相关证券underlying securities 没有兴趣。

• 所以这会导致相关现金流量增加。an increased amount for the underlying cash flows. 这反过来保证了相关证券的发行人的资本成本被降低。insures that the cost-of-capital is reduced for the issuers of the underlying securities.

• 例如，通过引入抵押支持证券市场来抵押抵押证券。我们增加了抵押贷款产生的现金流量需求，这样我们就可以降低房主的抵押贷款利率。 in the case of mortgage backed securities by introducing the market for mortgage-backed securities. We increase the demand for cash flows that arise from mortgages, so that we can reduce the mortgage rates for homeowners.

CDO 基础知识

Credit default obligations are securities that are constructed from an underlying pool of fixed-income securities.

• 我们有一个潜在的债券池，有125个债券，它们构成CDO的抵押品。
• 然后将CDO分成divided into tranches defined by their attachment。
• 所以他们的 attachment points 在这里是这些数字： 0％至3％，3％至7％。
• 一直上升至：40％到100％。
• 在左边的数：0，3，40，被称为 lower attachment points
• 在右边的数：3，7，100，被称为 upper attachment points
• 这些就是tranches, 所以我们有 equity tranche, 也有 mezzanine tranche
• 有时可能会有 a senior sometimes called a super senior tranche up here.

• 举个例子：例如投资者可以购买equity tranche。假设在CDO的整个生命周期内，如果underlying pool of assets 中没有任何债券违约。假设以50美元的价格购买股票，结果是投资者最终会收到100美元。

• 但是如果某些债券违约，那么权益部分将不得不承担损失。这意味着equity tranche 投资者将不再收到的100美元，也许他们只会收到75美元，或者50美元。

• 事实上，他们收到的数量将取决于基础债券池的损失数量 losses in the underlying pool of bonds.。

• 尤其是，如果 losses in the underlying pool of bond 超过本金notional 的3％，那么他们可能一无所获。

• 因为3％在这里将超过这个3％ upper attachment point ，所以权益部分将被清除，equity tranche will be wiped out。

• 这并不意味着股权投资者 investor in the equity tranche 将会一无所获。因为根据交易的结构，他们可能会在债券池发生损失之前收到一些支付，payments before the losses in the underlying pool of bonds occurs。

• 但基本上，是投资者可以购买这些单独的付款，他们会为此付出一定的金钱。然后他们在CDO的整个生命周期内，收到与这些付款相关的现金流量，cash flows associated with these tranches over the lifetime of the CDO。如果出现任何影响这些 tranche 的损失，则由于这些损失，他们将不得不支付某种付款。

• 事实上，我们会考虑所谓的合成CDO，synthetic CDO。在这种情况下，我们不会以50美元的价格购买一笔tranche，事实上，合成CDO的 tranche 会像 swap 一样工作。

• 所以在交易开始时就没有现金流量 no cash flows 发生。现在重要的一点是，如果您购买equity tranche，那么就是与债券池头3％损失的挂钩，hook for the first 3% of losses in the underlying bond pool。如果您购买夹层资产mezzanine tranche，那么您将面临这125只债券的本金的3％至7％的损失，hook for losses between 3% and 7% of the notional principal of these 125 bonds。

• 那么，基础池中的总名义本金是125美元。作为 investor in the mezzanine将会陷入125美元总本金里的3％至7％的损失。因此，任何损失超过3％的损失，低于7%的损失 都将开始影响到mezzanine。

• 应该清楚的是，equity chance 是CDO风险最高的一部分。这是因为 equity tranche 和 underlying good bond 发生的首次亏损是挂钩的。

• 同样，如前面提到的那样，有时称为super senior tranche的senior tranche是CDO风险最小的一部分。因为这部分tranche 仅在其下的所有其他tranche 已被wiped out 后才遭受损失。换句话说，损失已经超过了所有 attachment points， 3％，7％等等，现在已经进入senior tranche。

• 最后，在实践中，为了构建CDO，the banks that might only underline pool of bonds will often construct what's called an SPV。 这是一种远离原本持有这些债券的，可以使得银行远离破产的 legal entity法人实体。125个债券被放入这个SPV。SPV 发行CDO和CDO tranches。

学习结构

对结构化信贷和CDO的学习：

1. 它将提供证券化 securitization 过程的进一步实例

2. 引入臭名昭着的高斯Copula模型。

3. Discuss the difficulties in risk managing structured credit portfolios

4. Emphasize just how crazy some parts of the financial markets had become in
   the lead-up to the financial crisis.

5. The mechanics of how CDOs 的工作机制与default swaps的机制有很多共同之处。所以信用违约互换 credit default swaps 值得回顾一下

高斯Copula模型1

• 这里我们将讨论 Gaussian Copula Model。在金融危机期间，这个Model 受到了很多批评。

• 它来可以用来构建 reference portfolio of bond 参考债券组合中， 损失数量的概率分布 probability distribution of the number of losses 。

• 什么是reference portfolio？其实就是 基本CDO和CDO机会的组合，portfolio underlying CDOs and CDO chances 。

• 我们假设 reference portfolio 中有N个债券或credits。使用“credit”这个词，因为underlying bonds in the pool 就是这么被引用的。所以credit 可以指债券 bond，也可以指General Motors，Ford 等公司。所以这里我们会交替使用 Bond 和 Credit。

• 每个Credit 都具有本金 Notional Amount Ai 美元。有时它可以用 整体投资组合的百分比 来表示。

• 如果第i个Credit违约，那么会导致 Ai * (1 - Ri ) 数额的损失。其中Ri是 recovery rate ，即违约时还能剩下的本金金额的百分比。我们已经在credit-default-swaps 中研究过这个。

• 从建模的角度来看，Ri通常被认为是固定的和已知的，fixed and known。

• 然而在实践中，Ri 是随机的，并直到违约事件发生之后我们才知道。

• 我们也将假设 第i个 Credit 的违约时间的风险中性分布， risk-neutral distribution of the default time of the ith credit 是已知的。

• 事实上，这可以通过信贷违约掉期利差 credit-default-swap spreads 或公司债券价格 prices of corporate bonds来估计。

Term	Definition
Ai	Credit 产品的本金或者 占组合的%
Ri	恢复率recovery rate，违约时还能剩下的本金金额的百分比
q(i)	第i个 credit 违约的风险中性概率 risk-neutral probability

• 因此，我们可以计算 qi（t），即t时刻之前，第i个 credit 违约的风险中性概率 risk-neutral probability。

• 所以假设我们知道：投资组合中的所有债券以及任何时间t的这些违约概率。

• 请记住，对于信用违约掉期 credit default swap ，您实际上可以计算 term structure of spreads or premier,
  也就是画一个图，横轴是t， 纵轴是 fair spread in the credit-default-swap，画出图是不同maturity 的 function。所以，我们将假设这些 qi of t's 、根据时间的违约概率 是我们所知道的。

高斯Copula模型2

• 让Xi表示第i个信用的标准化资产价值，normalized asset value of the ith credit。假设 Di + Ei 是第i 家公司的债务加权益。公司可能是福特。

• 假设Xi = Ai * M + [sqrt (1 - ai^2) ]* Zi

• 其中M和Zi是标准的i个正态随机变量。每个Xi也是一个标准的正态随机变量。

• 假定每个因子负载factor loadings， ai， 区间0,1。

• 相关性Cov(Xi，Xj) = aiaj。这是因为Xi与Xj的相关性，在这种情况下，= Xi的期望值 * Xj的期望值。

• 因为Xi是标准的正态随机变量，这意味着有均值0和方差1

• 将相关性 计算 correlation 协方差 除以 方差乘积的平方根 square root of the product of the variances 。那么在这种情况下，方差是，也就是没有除任何

• 协方差 covariance 是Xi Xj的期望值减去Xi的期望值乘以Xj的期望值。但是Xi和Xj的期望值是0。因此，这里的相关性就等于这个项，也就是 = ai，aj 乘以期望值M的平方。 M是一个标准的正态随机变量，所以M平方的期望值等于1。

Term	Definition
Ai	Credit 产品的本金或者 占组合的%
Ri	恢复率recovery rate，违约时还能剩下的本金金额的百分比
q(i)	第i个 credit 违约的风险中性概率 risk-neutral probability
Xi	normalized asset value of the ith credit, 也是正态回归变量
M	标准的i个正态随机变量
Zi	标准的i个正态随机变量
Factor loadings	ai