无理数的发现和第一次数学危机

      我们都知道一个小的数减去一个大的数，正数就不够用了，于是我们定义了负数。数的家族扩大到了有理数。那有没有担心过有一天，打遍天下无敌手的有理数也不够用了，要怎么办？

       从2500多年的古希腊说起，古希腊时期经常被称为人类文明的童年时期，人类刚刚摆脱野蛮状态不久，认识事物的方式也就比较天真。他们认为世界的本源是水啊，火啊这些看得见摸得着的东西。但是有那么一群人在思想跳过了童年，直接进入了中学二年级，他们就是“毕达哥拉斯”学派的成员。他们认为世界的本源不是具有实体的东西，而是抽象的数。不过他们对数的认识都限于有理数的范围内，这是因为他们对数的认识都是从生活经验中得到的。他们认为宇宙万物都能通过整数和分数来解释，并且认为对有理数规则的掌握还以让他们获得和神零接触的钥匙。

        这种认识一直持续到公元前400年左右，学派中出现了一名震惊数学界的“叛逆”，这个人名叫希伯斯，他发现了一个神秘的数。希伯斯据说是毕达哥拉斯本人的学生，他的老师有一个了不起的发现，就是：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。后人称为：毕达哥拉斯定理，即咱们大天朝说的勾股定理。希伯斯发现：当一个等腰直角三角形的两直角边为1的时候，斜边长度怎么找也找不到！因为这个数必须要满足平方是2这个条件，希伯斯做了各种可能的尝试，终于意识到一个严峻的问题：有理数不够用了！

       希伯斯开始研究这个神秘数，最终他证明这个平方是2的数确实不是有理数，只能用一个新数来表示，这就是数学史上发现的第一个无理数：√2    

       这个神秘数的发现让毕达哥拉斯学派的大为震惊，传说这群用有理数解释万物的人实在无法接受无理数的存在，于是以渎神的罪名把希伯斯沉入大海......希伯斯虽然死了，但他发现的√2 却在数学界掀起了轩然大波，动摇了数的基本概念，形成了一次颠覆认识的大危机，史称第一次数学危机。

       虽然有理数和无理数的名字只差了一个字，但实际上，对有理数的认识，基本上是从生活经验中总结而来。而无理数的发现，却脱胎于数学本身的规则，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。可以说从这里开始，数学这个游戏才真正The Game Is On