补码到底是什么？

补码（Two's complement），是有符号数的一种二进制表示方式。

我们用 B2T_w 来表示一个补码。其中 w 代表二进制数的位长，B2T 的含义其实是 “二进制转补码”。

计算补码实际表示的数，我们需要将每一位上的值和对应权重相乘然后进行相加。每一位（索引记为 i，从 0 开始，从右往左递增）的权重为 2ⁱ，但最高位的权重比较特殊，需要取负数，为 -2^w-1。

补码的数学公式

对向量 x = [x^w-1, x^w-2, ... , x⁰]，有：

下面举几个简单的例子：

补码其实就是将最高位后面的位当成是一个无符号二进制数，将其转为十进制。然后如果最高位是 1，就再减去 2^w-1，得到一个负数；如果最高位是 0，不用处理，最后得到一个非负数。补码这种表示方式使用了 减去偏移值（2^w-1） 的方式，解决了原码和反码表示的 0 有两种表示方式的弊端，成为现在机器有符号数的标准意义上的存储方式。

补码表示的最大值和最小值

对于一个位长为 w 的补码表示，最大值 TMax_w 为 2^w-1 - 1，此时最高位为 0，其余位都是 1。最小值 TMin_w 为 -2^w-1，此时最高位为 1，其余位都是 0。

如对于 4 位的补码，最大值 TMax₄ = B2T₄([0111])，对应的值为 2³-1 = 7，最小值为 B2T₄([1000])，对应的值为 -2³ = -8。

补码（Two's complement）命名的由来

补码的英文 Two's complement，原意是 “2的补数”。这个命名虽然没有描述补码的定义，但它描述了补码的一个特性：一个补码可以通过被 2^w 减去，得到它的相反数，即 -x = 2^w - x。

如对于字长为 4 的补码表示 0001（十进制为 1），它的相反数为 10000（即 2⁴） - 0001 = 1111（十进制为 -1）。

我们在学习原码、反码、补码，查阅相关文章时，总是可以看到类似下面的这句话。

正数和0的补码就是该数字本身，负数的补码则是将其对应正数按位取反再加 1。

后半句话难以理解，因为这是我前文提到的特性的一种变体。下面我们来分析这个变体是如何推导出来的。

根据补码特性，字长为 w 的补码和补码的相反数相加，得到的是 2^w，如 0001 + 1111 = 10000（即 2⁴）。补码和补码按位取反的数相加得到的是 2^w-1，如 0001 + 1110 = 1111（即 10000 - 1）。用后一个等式减去前者，我们就得到了：

1111（负数的补码） = 1110（正数按位取反）+ 1

于是我们有了 “负数的补码则是将其对应正数按位取反再加 1” 这个结论。

请务必不要通过这句话来理解补码，它不直观，不是定义，只是一个特性。而是应该直击本质：除最高位的其他位对应的数，根据最高位的值决定是否减去偏移值（2^w，w 为位长）得到的值就是补码。

原码与反码

既然讲了补码，那不妨再简单讲讲和补码密切相关的原码和反码。原码和反码和补码一样，都是有符号数的表示方式。

原码（Sign Magnitude），由最高位的符号位（Sign）和其余位表示的大小（Magnitude）组成。原码与我们日常使用的有符号数相似，最高位表示符号（0为正，1为负），剩下的位则是数字的绝对值大小。原码的计算公式为：

反码（Ones' Complement），和补码的计算方式非常相似，只是这个偏移值是 2^w-1-1，而不是 2^w-1。

正数的反码等于其原码，而负数的反码则可以通过保留其符号位，将原码的数值位取反得到。

反码公式为：

反码（Ones' Complement），根据英文原意，应该叫做 1们的补。“1们” 表示是多个 1，对于一个 w 位的反码来说，其实就是 2^w-1-1（全为 1 的 w 位的二进制数）。同样，类似补码，反码具有特性：一个补码可以通过被 2^w-1 减去，得到它的相反数，即 -x = 2^w-1 - x。

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