矩阵的初等变换

2019-11-22 本文已影响0人 madao756

前言：矩阵的初等变换是重点，要好好学！

0X00 初等变换与矩阵等价

「初等行」变换以及「初等列」变换

假设我们有矩阵 A， $r_i$ 表示第 i 行， $c_j$ 表示第 j 列

初等行变换有三种情况：

$r_i \leftrightarrow r_j$
$r_i \times k$
$r_i + k \times r_k$

初等列变换有三种情况：

$c_i \leftrightarrow c_j$
$c_i \times k$
$c_i + k \times c_k$

矩阵等价

矩阵等价也有三种情况：

如果矩阵 A 经过一系列初等行变换得到矩阵 B，则 A B 等价，记做 $A \overset{r}{\Leftrightarrow} B$
如果矩阵 A 经过一系列初等列变换得到矩阵 B，则 A B 等价，记做 $A \overset{c}{\Leftrightarrow} B$
如果矩阵 A 经过一系列初等列变换以及一系列行变换得到矩阵 A，则 A B 等价，记做 $A \overset{c, r}{\Leftrightarrow} B$

0X01 初等矩阵

基本定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

同样也有三种情况：

两行（列）互换：

此种初等矩阵 $E_1$ 的逆： $E_1^{-1} = E_1$

把某行（列）乘以一非零常数 $k$

此种初等矩阵 $E_2$ 的逆： $E_2^{-1} = \frac{1}{k}E_2$

把第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍

此种初等矩阵 $E_3$ 的逆等于系数相反的变换

也就是 $E_3 \overset{r_i - kr_j}{\rightarrow} E_3^{-1}$

0X02 矩阵初等变化与矩阵乘法

现有以下两条定律：

对于矩阵： $A_{m \times n}$

对 A 施行一次初等行变换等价于：左乘 m 阶进行同样初等行变换的初等行列式
对 A 施行一次初等列变换等价于：右乘 n 阶进行同样初等列变换的初等行列式

总结来说就是：左行右列

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