概率论与数理统计基础-2

2019-05-21 本文已影响0人 yi_zhe

3. 几何概型(样本空间是一个几何区域, 可以通过划分转化为古典概型)

引例假设天上要掉个馅饼到操场上, 馅饼掉在操场上的任意位置都是等可能的(样本点个数不是有限的, 不是古典概型).

站在哪里都一样
饭盆面积越大接到的概率越大

定义设 $\Omega$ 是一个可以度量的几何区域, 每个样本点的发生具有等可能性(即样本点落入 $\Omega$ 中的某一个可度量的子区域 $A$ 的可能性大小与 $A$ 的几何度量成正比, 而与 $A$ 的位置及形状无关), 则称其为几何概型.
$P(A)=\frac {A的测度} {\Omega的测度}$

例1. 设我上午8:00-9:00时间段内进教室, 求 $P(我在8:30-9:00)$ 进入教室的概率 $\frac 1 2$ .
注: 恰好在8:30进入教室的概率是0, 概率是0但也有可能发生, 概率为1也不是必然事件.

例2. 君子有约, 上午9:00~10:00甲乙在校门口见面, 等20分钟没见到即离开, 求 $P(甲乙能见面)$
[分析] X, Y (0~60) |X-Y| <= 20, 画个坐标系, 通过计算图形面积计算
结果为 $P(A)=\frac {S_A} {S_\Omega}=\frac {60^2-40^2} {60^2}$

例3. 在0~1内随机地取两个数, 求 $P(两数的和小于\frac 6 5)$
[分析]几何概型X, Y (X+Y< $\frac 6 5$ )
结果为 $P(A)=\frac {1 - \frac 4 5*\frac 4 5*\frac 1 2} {1}=\frac {17} {25}$

重要公式求概率

对立事件公式 $P(A) = 1 - P(\overline A)$
减法公式 $P(A-B)=P(A)-P(AB)$
加法公式(注1)
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$
条件概率公式 $P(A|B)=\frac {P(AB)} {P(B)}$ , 标志性词汇: 已知,当...发生了,
乘法公式 $P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$ , A,B同时发生不是指时间上同时, 而是逻辑上的同时
一般地, $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)...P(A_{n-1}|A_1A_2...A_{n-2})P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})$
全集分解公式(全概率公式)
[引例] 设一个村子和三个小偷 $A_1A_2A_3$ , $P(B|A_1)=0,P(B|A_2)=\frac 1 2, P(B|A_3)=1$ 请问村子丢东西的概率.(等可能)
P(丢东西)= $P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)P(A_3)P(B|A_3)=\frac 1 3 * 0 + \frac 1 3 * \frac 1 2 + \frac 1 3 * 1=\frac 1 2$
[定义与公式] 设E可分为两个阶段,
$(\rm I) \bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega, A_iA_j=\emptyset, i \ne j$ , 称 $A_1A_2...A_n$ 为 $\Omega$ 的一个划分, 也叫完备事件组
注1:
若 $A_1,A_2,..., A_n$ 两两互斥, 则 $P(A_1+A_2+,...,+A_n)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$
若 $A_1,A_2,..., A_n$ 相互独立, 则 $P(A_1+A_2+,...,+A_n)=1-P(\overline {A_1+A_2+,...,+A_n})=1-P(\overline A_1\overline A_2...\overline A_n)=1-\prod_{i=1}^nP(\overline A_i)=1-\prod_{i=1}^n(1-P(A_i))$
所谓相互独立, 是指: 设 $A_1,A_2,..., A_n$ 对其中任意有限个 $A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n}$ 做下标重排,都有 $P(A_{i_1}A_{i_2}...A_{i_n})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})...P(A_{i_n})$ 则称 $A_1,A_2,..., A_n$ 相互独立, 且"夫唱妇随"(如果n个事件相互独立 $\iff$ 它们中的任意一部分事件换成其各自的对立事件所得的n个新事件也相互独立).

概率论与数理统计基础-2

3. 几何概型(样本空间是一个几何区域, 可以通过划分转化为古典概型)

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