学习笔记《Riemann Hypothesis》

Riemann Hypothesis 因为和质数问题有直接的关系，因而成为了 Millennium Prize Problems 重要的七个问题之一，至今还没有得到准确的答案

对 Riemann Hypothesis 的一个介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo

Basel problem

Basel problem 神奇的地方在于，普通的数论极限值，居然可以和 π 搞上基，而且还是 π² 的关系，这让当时的数学家们惊诧不已，黎曼ζ函数（The Riemann zeta function）在 n = -1 的时候产生的推导：1+2+3+4+5+.... = -1/12 让人匪夷所思
https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题马上就出名了，当时他二十八岁。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的素数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。

理解和证明

对 Basel problem 直观理解的一个视频（借助几何来理解）：
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

• 把数轴上的自然数，当作灯塔在向 0 发光（等比的距离关系，产生平方的光量接收关系），这样的形式建立起对 1/n² 求和的理解
• 将数轴理解成一个直径极大的圆，在这样的理解下数轴趋于直线
• 自然数的总能量为 π²/8，两倍距离的偶数位置是其 1/4，因为奇数位置就是 3/4，也就是 π²/6

Mathologer 对这个问题的讲解：
https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI

维基百科上提供了更全的介绍和证明：
https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

The Riemann zeta function

The Riemann zeta function or Euler–Riemann zeta function, ζ(s), is a function of a complex variable s that analytically continues the sum of the Dirichlet series

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

3Blue1Brown 对 Riemann zeta function 的一个讲解：
https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw

• Analytic 可以理解为 Angle-preserving
• 后续引出了 analytic continuation（为什么会等于 -1/12 ）
• 对 Riemann Hypothesis 做了细致的讲解