2018-10-12

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第八章离散时间系统的变换域分析

变换域分析原因：将求解问题简单
对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程问题转化为求解代数方程问题
对于离散时间系统，通过Z.T.,可以将原来求解差分方程问题转化为求解代数方程问题。
离散时间序列的频域分析方法
- 离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解方法，在频域进行分析。--离散时间序列傅里叶变换DTFT,Z变换的一个特例
- 傅里叶变换的离散形式--离散傅里叶变换DFT，离散沃尔什变换、离散余弦变换等。
Z变换
- 离散时间信号可以看成连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列。
  - $f(k)-->f_{\delta}(t)= \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)\delta(t - kT)$
  - $F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{\delta}(t)e^{-j\omega t}dt = \sum_{k = -\infty}^{ +\infty}f(k)(e^{j\omega})^{-kT}$
  - 根据 $Dirichlet$ 条件，只有在信号满足绝对可积条件是，F.T.才存在。这里变为绝对可和条件： $\sum_{k = -\infty}^{+\infty}|f(k)| <+\infty$
  - 如果不满足，可以利用LT中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子,然后再求F.T.。
    - $F(r + j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{\delta}(t)e^{-rkT}e^{-j\omega t}dt$
    - $= \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)(e^{r + j\omega})^{-kT}$
    - 假设
      - $F(r +j\omega) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)(e^{r + j\omega})^{-k}$
      - $z = e^{r +j\omega}$
        
        $F(z) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(k)z^{-k}$
      - 反映了抽样信号的FT，与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系
        
        $F(j\omega) = F(z)|_{z = e^{j\omega}}$
        
        $T \neq 1$
        
        $F(j\omega) = F(z)|_{z = e^{j\omega T}},F(s) = F(z)| _{z = e^{sT}}$
- Z变换的简化
  - 变换是一个左边序列
    - $F(z) = \sum_{k = -\infty}^{-1}f(k)z^{-k}$
  - 变换是一个右边序列
    - $F(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty}f(k)z^{-k}$
  - 变换是一个有限长序列
    - $F(z) = \sum_{k = k_1}^{k_2}f(k)z^{-k}$
- 单边Z变换和双边Z变换
  - 实际工作中，信号是有始信号，系统也是因果系统，其单位函数响应也是一个有始信号，所以只要考虑即可。相应的变换为单边Z变换：自动引入初始条件，得到系统的全响应。
    - $F(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty}f(k)z^{-k}$
- Z变换的收敛域
  - ZT是一个级数求和问题，意味着级数收敛。
  - 级数收敛的判别方法
    - 比值法
      - $\lim_{k\to \infty}|\frac{a_{k + 1}}{a_k}| = \rho < 1$
    - 根值法
      - $\lim_{k \to \infty}k\sqrt{|a_k|} = \rho < 1$
  - 几种常见序列的收敛域
    - 1、有限长序列
      - $F(z) = \sum_{k = k_1}^{k_2}f(k)z^{-k}$
        
        $k_1 < 0,k_2 < 0 \text{收敛域} 0 \leq |z| < +\infty$
        
        $k_1 < 0,k_2 > 0 \text{收敛域} 0 < |z| < +\infty$
        
        $k_1 > 0,k_2 > 0 \text{收敛域} 0 < |z| \leq +\infty$
    - 2、右边序列
      - $F(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty}f(k)z^{-k}$
        
        $|z| > \lim_{k \to \infty}k\sqrt{|f(k)|} = R$
    - 3、左边序列
      - $F(z) = \sum_{k = -\infty}^{-1}f(k)z^{-k}$
        
        $|z| < \frac{1}{\lim_{k\to \infty}k\sqrt{|f(-k)|}} = R$
    - Z变换例子
      - $\mathscr{Z}\{v^{k}\varepsilon(k)\} = \frac{z}{z - v}$
        
        收敛域： $|z|> |v|$
      - $\mathscr{Z}\{-v^{k}\varepsilon(-k-1)\} = \frac{z}{z - v}$
        
        收敛域： $|z| < |v|$
- 常见序列的单边ZT
  - 单位函数:
    - 收敛域：全平面
  - 单位阶跃信号:
    - $\mathscr{Z}\{\varepsilon(k)\} = \frac{1}{1 -z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$
    - 收敛域: $|z| >1$
  - 单边指数信号：
    - $\mathscr{Z}\{v^{k}\varepsilon(k)\} = \frac{z}{z -v} = \frac{z}{z-1}$
    - 收敛域: $|z| > |v|$
  - 右边序列计算左边序列ZT计算方法
    - 序列 $f(k)$ 反摺,称为右边序列 $f(-k)$
    - 求 $f(-k)$ 的单边ZT,假设为 $F_s(z)$ ,收敛域为 $|z| > R$
    - 得到左边序列的ZT
- Z变换的性质
  - 1、线性
  - 2、移序特性
    - 单边移序特性
      - 增序
        
        $\mathscr{Z} \{f(k +1)\} = \mathscr{Z} \{S\cdot f(k)\} = z[F(z) - f(0)]$
        
        $\mathscr{Z} \{f(k +2)\} = \mathscr{Z} \{S^2\cdot f(k)\} = z^2[F(z) - f(0) - f(1)z^{-1}]$
        
        $\mathscr{Z} \{f(k +n)\} = \mathscr{Z} \{S^n\cdot f(k)\} = z^2[F(z) - f(0) - f(1)z^{-1} -...-f(n-1)z^{-(n-1)}]$
        
        移序计算不影响收敛域
        
        移序计算与LT中的微分特性很相似
        
        $\mathscr{L} \{\frac{d}{dt}f(t)\} = sF(s) - f(0^{-})$
      - 减序
        
        $\mathscr{Z} \{f(k -1)\} = \mathscr{Z} \{S^{-1}\cdot f(k)\} = z^{-1}F(z)$
    - 双边序列移序
      - $\mathscr{Z}\{f(k +n)\} = \mathscr{Z}\{S^n f(k)\} = z^nF(z)$
  - 3、（z域）尺度变换特性:
    - $\mathscr{Z}\{a^kf(k)\} = F(\frac{z}{a})$
  - 4、（z域）尺度微分特性:
    - $\mathscr{Z}\{kf(k)\} = -z\frac{d}{dz}F(z)$
  - 5、卷积定理
    - $\mathscr{Z}\{f_1(k)\ast f_2(k)\} =F_1(z)F_2(z)$
  - 6、初值和终值定理
    - $f(0)\text{存在} ，f(0) = \lim_{z \to \infty}F(z)$
    - $f(\infty)\text{存在} ，f(+\infty) = \lim_{z \to 1}（z-1）F(z)$

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