查找算法之顺序、二分、二叉搜索树、红黑树 详细比较总结 阅读 5

前言

一般用符号表来储存键值对，就好像字典那样，通过索引来查找值，若键重复则覆盖值。我们能希望找到一种高效的查找算法使在平均情况和最差情况下，时间复杂度都能达到O(logn)。下面会逐步介绍四种算法，最终达到我们的目的。

顺序查找

用链表实现，无法索引数据，必须遍历找数据，速度比较慢，查找插入时间复杂度都为O(n)，而且无法保证有序。但是实现简单，适用于小型数据。

public class SequentialSearchST  {    private Node head;    private int size=0;    public void put(Key key,Value v){        Node p=head;        while(p!=null){            if(p.key.equals(key)){                p.v=v;                return;            }            p=p.next;        }        head=new Node(key,v,head);        size++;    }    public Value get(Key key){        Node p=head;        while (p!=null){            if(p.key.equals(key)){                return  p.v;            }            p=p.next;        }        return null;    }}

二分查找

用数组保存数据，保证有序。二分查找速度很快，但是仅限于查找。因为插入的时候要保证有序，所以要往后移动数据以便插入。查找复杂度O(logn),插入复杂度O(n)。

public class BinarySearch {    public void put(Key key,Value value){        int index=rank(key);        //键相等则覆盖值        if(keys[index]!=null&&key.compareTo(keys[index])==0){            values[index]=value;            return;        }        //把数据往后移，以便插入        for(int i=size+1;i>index;i--){            keys[i]=keys[i-1];            values[i]=values[i-1];        }        keys[index]=key;        values[index]=value;        size++;    }    public Value get(Key key){        int index=rank(key);//二分查找        if(keys[index]!=null && key.compareTo(keys[index])==0){            return values[index];        }        return null;    }      public int rank(Key key){return rank(key,0,size);}    public int rank(Key key,int l,int h){        if(l>h) return l;        int mid = (l+h)/2;        int cmp=0;        if(keys[mid]!=null)            cmp=key.compareTo(keys[mid]);        if(cmp<0)            return rank(key,l,mid-1);        else if(cmp>0)            return rank(key,mid+1,h);        return mid;    }}

二叉搜索树

通过前面两个算法，我们可以知道链表能快速删除插入，而二分能快速查找。所以我们想找到一种结构既是链式结构，同时又能进行二分查找，同时保证查找和插入的高效性。

答案就是二叉搜索树。

定义

是二叉树

每个节点含有一个键和关联的值

且每个节点的键大于左儿子且小于右儿子

实现

其实给出定义，实现就已经很清楚了。说白了就是从无到有构造一个二叉树，每次插入都和树中的节点进行比较，小的放左边，大的放右边。就如同快速排序，用一个主元把左右两边分开。

还是直接看代码清楚点

public class BST{    Node root;    public void put(Key key,Value value){        root = put(root,key,value);    }    public Node put(Node x, Key key, Value value) {        if(x==null){            return new Node(key,value,0);        }        int cmp = key.compareTo(x.key);        if(cmp<0) x.left=put(x.left,key,value);        else if(cmp>0) x.right=put(x.right,key,value);        else {            x.value=value;            x.N = size(x.right)+size(x.left)+1;        }        return x;    }    public Value get(Key key){        return get(root,key);    }    private Value get(Node x, Key key) {        if(x==null)            return null;        int cmp =key.compareTo(x.key);        if(cmp<0)  return get(x.left,key);        else if(cmp>0) return get(x.right,key);        return x.value;    }}

效率问题

二叉搜索树的查找和搜索在平均情况下时间复杂度都能达到O(logn)，而且能保证数据有序。二叉搜索树的中序遍历就是数据的顺序。我们貌似已经找到了一个最理想的算法。

但是这个效率只是在平均情况下。如果数据是逆序，或者顺序，那么这棵树就会发生一边倒的情况使复杂度直接达到O(n)，就如同快排中选择到糟糕的主元(最大或者最小)。比快排糟糕的是，快排我们能通过随机打乱数据来避免这种情况发生。但二叉搜索树则不行，数据都是客户提供，直接插入到树中的，这种情况其实经常发生。

幸运的是我们有平衡二叉树可以解决这个问题。

平衡二叉树

2-3树

为了保持树平衡性，允许节点能保存两个键值对，且能连三个儿子。这样把节点分成了两种类型。

2-节点 : 一个键值对，两个儿子。 (也就是标准的二叉搜索树)

3-节点 : 两个键值对，三个儿子。 (两个键是有序的，左小右大。左儿子小于左边的键，右儿子大于右边的键，中间的儿子在两个键之间)

实现原理

2-3树插入比较复杂。在插入的同时保持平衡性。

向2-节点中插入键。这种情况比较简单。直接插入即可。

向3-节点中插入键。比较特殊。先暂时把键插入到3-节点，此时这个节点中就有了三个键，然后再把这个节点分开。把中间的儿子简单当根，左右两边的键当儿子。若父节点还是3-节点，则继续递归进行。

性能分析

2-3树性能可以说是比较好的。不管数据怎么样，查找删除操作时间复杂度都能达到O(logn)。

但是2-3树实现比较复杂，需要掌控的情况很多，剥离节点，传递节点等操作，都需要很复杂的代码，且也会耗费不少的时间。所以我们一般不怎么用原始的2-3树，而是用2-3树的变形红黑树.

红黑树

红黑树最方便的地方除了插入和删除操作的代码略复杂以外，另外的操作都可以直接复制二叉搜索树。

红黑树是2-3树的变形，把3-节点分离开来使之成为普通的2-节点。但是怎么表现分离开的节点之间的联系呢。我们用红线把他们连起来。

巧妙地结合二叉搜索树的高效查找操作和2-3树的平衡插入操作。

每个节点都只有一根连向父节点的线。这个线的颜色称为节点的颜色。

实现

我们通过旋转来维持树的平衡。一般有两种情况需要旋转。

连续两个左节点的颜色为红色,向右转

右节点的颜色为红色，向左转

第三种情况是左右两边都为红色。最好处理，不需要旋转。只需要把左右两个儿子的颜色改成黑色，再把自己的颜色改成黑色。可以想象成把3个键值对3-节点剥离开。

public class BlackRedBST {    private final boolean RED = true;    private final boolean BLACK = false;    private Node root;    public void put(Key key,Value value){        root = put(root,key,value);        root.color = BLACK;    }    private Node put(Node x, Key key, Value value) {        if(x==null) return new Node(key,value,0,RED);        int cmp = key.compareTo(x.key);        if(cmp<0) x.left = put(x.left,key,value);        else if(cmp>0) x.right = put(x.right,key,value);        else if(cmp==0) x.value =value;        if( isRED(x.right) && !isRED(x.left)) x=rotateLeft(x);        if( isRED(x.left) && isRED(x.left.left)) x=rotateRight(x);        if( isRED(x.left) && isRED(x.right)) flipColor(x);        x.N = size(x.right) + size(x.left) +1;        return  x;    }    private void flipColor(Node x) {        x.right.color = BLACK;        x.left.color = BLACK;        x.color = RED;    }    private Node rotateLeft(Node x) {        Node r =x.right;        x.right = r.left;        r.left = x;        r.color = x.color;        x.color = RED;        x.N = size(x.left)+size(x.right) +1;        return r;    }    private Node rotateRight(Node x) {        Node r =x.left;        x.left = r.right;        r.right = x;        r.left.color = RED;        r.right.color = RED;        r.color =BLACK;        x.N = size(x.left)+size(x.right) +1;        return r;    }}

性能分析

无论数据如何，插入删除时间复杂度都为O(logn)，可以说达到了理想状态，且代码简单。

性能测试

分别对四个文件进行插入搜索操作。

tale.txt(779kb)

顺序查找(7.143秒) 二分查找(0.46秒) 二叉搜索树(0.191秒) 红黑树(0.237秒)

leipzig100k.txt(12670kb)

顺序查找(无) 二分查找(13.911秒) 二叉搜索树(1.389秒) 红黑树(1.442秒)

leipzig300k.txt(37966kb)

顺序查找(无) 二分查找(60.222秒) 二叉搜索树(2.742秒) 红黑树(3.104秒)

leipzig1m.txt(126607kb)

顺序查找(无) 二分查找(无) 二叉搜索树(3.016秒) 红黑树(2.797秒)

由上面的数据分析，顺序查找实际是非常慢的。而二分查找对小型数据还是比较快，但是数据一大就不行了。

而这里的二叉搜索树和红黑树，无论什么数据效率都是极高。而且由leipzig300k.txt到leipzig1m.txt数据几乎翻了4倍，而这两种算法的效率几乎没收什么影响。

这里因为我的数据比较平均的关系，比较不出红黑树和二叉搜索树的差异。我自己构造了一组数据进行测试。完全逆序的100000个数进行插入删除。

红黑树(0.173秒)

二叉搜索树(StackOverflow)

Reference

维基百科