OpenCV C++（三）---- 几何变换
几何变换：放大缩小、旋转等操作，改变了原图各区域的空间关系。
- 首先， 需要一个算法实现空间坐标变换， 用它描述每个像素如何从初始位置移动到终止位置；
- 其次， 还需要一个插值算法完成输出图像的每个像素的灰度值。
3.1 仿射变换
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通常称A为仿射变换矩阵。
3.1.1、平移
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其中，若tx> 0，则表示沿x轴正方向移动；若tx< 0，则表示沿x轴负方向移动。ty与之类似。
3.1.2、放缩
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以上介绍的是以原点（0， 0）为中心的缩放变换。
其余情况可以将该变换过程理解为先将原点平移到中心点， 再以原点为中心进行缩放， 然后移回坐标原点， 用矩阵形式可以表示为：
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注：等式右边的计算是从右向左进行的。
3.1.3、旋转
以原点为中心，顺时针旋转α
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以原点为中心，逆时针旋转α
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如果（x，y）绕任意一点（xo，yo）逆时针旋转α，则首先将原点移到旋转中心，然后绕原点旋转，最后移回坐标原点， 即：
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3.1.4、计算仿射矩阵
1、方程法
仿射变换矩阵有六个未知数， 所以只需要三组对应位置坐标， 构造出由六个方程组成的方程组即可解六个未知数。
(1)坐标保存在Point2f数组中
Point2f src[]={Point2f(0,0),Point2f(200,0),Point2f(0,200)};
Point2f dst[]={Point2f(0,0),Point2f(200,0),Point2f(0,200)};
Mat A=getAffineTransform(src,dst);
需要注意的是，数据类型是， CV_64F而不是CV_32F。
(2)将原位置坐标和对应的变换后的坐标保存在Mat中， 每一行代表一个坐 标， 数据类型必须是CV_32F， 否则会报错
Mat src=(Mat_<float<(3,2)<<0,0,200,0,0,200);
Mat dst=(Mat_<float<(3,2)<<0,0,200,0,0,200);
Mat A=getAffineTransform(src,dst);
2、矩阵法
对于使用矩阵相乘法计算仿射矩阵，前提是需要知道基本仿射变换步骤，即如果 （x， y）先缩放再平移， 则变换后的矩阵形式为：
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使用矩阵基本操作可以计算出上面的矩阵，注意等式右边的运算是从右向左进行的。
如果是等比例缩放的， 即sx=sy， 则两个仿射变换矩阵是相等的。对于这种等比例缩放的仿射变换， OpenCV提供了函数：
Mat A=getRotationMatrix2D(Point2f(40,50),30,0.5);
数据类型是CV_64F。
3.1.5、插值算法
如何利用已知的整数坐标处的函数值估算非整数坐标处的函数值。
1、最近邻插值
最近邻插值就是从（x， y） 的四个相邻整数坐标中找到离它最近的一个 。
使用最近邻插值方法完成图像几何变换， 输出图像会出现锯齿状外观，对图像放大处理的效果会更明显。 为了得到更好的效果，应使用更多的信息， 而不仅仅使用最近像素的灰度值 。
2、双线性插值
- 第一步： |x-[x]|是点（x， y） 和（[x]， [y]） 的水平距离， |[x]+1-x|是点（x， y） 和 （[x]+1， [y]） 的水平距离， 显然0< |x-[x]|< 1， 0< |[x]+1-x|<1且|x-[x]|+| [x]+1-x|=1。 为了表示方便， 记a=|x-[x]|， 通过以下线性关系估计fI 在（x， [y ]） 处的值：
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- 第二步： 同第一步类似，|x-[x]|是点（x， y）和（[x]， [y ]+1）的水平距离， |[x]+1- x|是点（x， y）和（[x]+1， [y]+1）的水平距离，通过以下线性关系估计fI 在（x， [y]+1）处的值
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- 第三步： 通过第一步和第二步分别得到了fI 在（x， [y]+1）和（x， [y]）处的函数 值，（x， y） 和（x， [y ]） 的垂直距离为|y-[y ]|，（x， y） 和（x， [y]+1）处的垂直距 离为|[y ]+1-y |， 通过以下线性关系估计fI 在（x， y） 处的函数值：
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令b=|y-[y]|， 简化上式得到：
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这样对于非整数坐标处的函数值， 就可以利用它的邻域的四个整数坐标处的函数值 进行插值计算而得到。 当然， 如果先进行两次垂直方向上的插值， 然后再进行水平方向上的插值， 得到的结果是一样的。
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利用opencv实现仿射变换一般会涉及到warpAffine和getRotationMatrix2D两个函数，其中warpAffine可以实现一些简单的重映射，而getRotationMatrix2D可以获得旋转矩阵。
void cv::warpAffine ( InputArray src,
OutputArray dst,
InputArray M,
Size dsize,
int flags = INTER_LINEAR,
int borderMode = BORDER_CONSTANT,
const Scalar & borderValue = Scalar()
)
Mat cv::getRotationMatrix2D ( Point2f center,
double angle,
double scale
)
使用函数warpAffine对图像进行缩放， 需要先创建缩放仿射矩阵。为了使用更方便， 对于图像的缩放，OpenCV还提供了另一个函数：
void resize(InputArray src,OutputArray dst,Size dsize,double fx=0,double fy=0,int interpolation=INTER_LINEAR);
//第一种方法：利用warpAffine进行缩放
Mat s=(Mat_<float>(2,3)<<0.5,0,0,0,0.5,0);
Mat dst1;
warpAffine(img,dst1,s,Size(img.cols/2,img.rows/2));
//第二种方法：利用resize缩放
Mat dst2;
resize(img,dst2,Size(img.cols/2,img.rows/2),0.5,0.5);
在OpenCV 3.X中完成图像矩阵顺时针旋转90°、 180°、 270° ,如下：
void rotate(InputArray src,OutputArray dst,int rotateCode)
3.2、投影变换
在对仿射变换的讨论中， 校正物体都是在二维空间中完成的， 如果物体在三维空间中发生了旋转， 那么这种变换通常被称为投影变换。 由于可能出现阴影或者遮挡， 所以此投影变换是很难修正的。 但是如果物体是平面的，那么就能通过二维投影变换对此物体三维变换进行模型化， 这就是专用的二维投影变换，可由如下公式描述：
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与用方程法计算仿射变换矩阵的函数getAffineTransform类似（使用方法也类似，有两种），OpenCV提供了函数：
getPerspectiveTransform(src,dst);
3.3、极坐标变换
通常利用极坐标变换来校正图像中的圆形物体或被包含在圆环中的物体。
3.3.1、将笛卡尔坐标转换为极坐标
Mat x=(Mat_<float>(3,3)<<0,1,2,0,1,2,0,1,2)-1;
Mat y=(Mat_<float>(3,3)<<0,0,0,1,1,1,2,2,2)-1;
Mat r,theta;
cartToPolar(x,y,r,theta,true);
3.3.2、将极坐标转换为笛卡尔坐标
Mat angle=(Mat_<float>(2,2)<<30,31,30,31);
Mat r=(Mat_<float>(2,2)<<10,10,11,11);
Mat x,y;
polatToCart(r,angle,x,y true);
x+=-12;
y+=15;
