高中数学纲目

二面角：2016年理数全国卷A题18

2021-11-18 本文已影响0人易水樵

二面角：2016年理数全国卷A题18（12分）

如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF =2FD$ ， $\angle AFD= 90°$ ，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$

（I）证明∶平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ ;

（Ⅱ）求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值.

2016年理数全国卷A

【解答问题I】

$\angle AFD= 90° \; \Rightarrow AF \perp FD$

面 $ABEF$ 为正方形 $\Rightarrow AF \perp FE$

∵ $AF \perp FD, AF \perp FE, FD \cap FE=F$ ,

∴ $AF \perp$ 平面 $EFDC$ ,

又∵ $AF \subset$ 平面 $ABEF$ ,

∴ 平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ .

【解答问题Ⅱ：准备工作】

∵ 面 $ABEF$ 为正方形，

∴ $AB//EF,AF // BE$ , $EF \perp AF, EF \perp BE$ ,

又 ∵ $AF \perp$ 平面 $EFDC$ , （前节已证）

∴ $BE \perp$ 平面 $EFDC$ ,

∴ $AF \perp FD, BE \perp EC$

又∵ 二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$

∴ $\angle FEC=\angle EFD=60°$

∵ $AB//EF$ , $AB \subset$ 平面 $ABCD$ ,

平面 $ABCD \;\cap$ 平面 $EFCD=CD$ ,

∴ $CD//EF$ .

∴ $EFDC$ 是等腰梯形.

又∵ $AF =2FD$ , ∴ $AB=AF=2FD=2CE=2DC$

令 $AB=4$ , 以点 $B$ 为原点建立直角坐标系，以 $BE$ 为 $x$ 轴，以 $BA$ 为 $y$ 轴，以 $DC$ 所在一侧为 $z$ 轴正方向.

各点坐标如下：

$A(0,4,0),\; B(0,0,0)\; E(4,0,0),\; C(4,1,\sqrt{3})$

$\overrightarrow{BC} = (4,1,\sqrt{3})$

$\overrightarrow{BA} = C(0,4,0)$

$\overrightarrow{BE} = C(4,0,0)$

【解答问题Ⅱ：算法一】

$\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}=(-4\sqrt{3},0,16)$

$\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BE}=(0,4\sqrt{3},-4)$

令 $\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3},0, 4)$ , $\overrightarrow{n}=(0,\sqrt{3},-1)$

$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{19}$ , $|\overrightarrow{n}|=2$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot | \overrightarrow{n} |} = -\dfrac {2} {19} \sqrt{19}$

二面角 $E-BC-A$ 的余弦值为 $-\dfrac {2} {19} \sqrt{19}$ .

【解答问题Ⅱ：算法二】

令 $\overrightarrow{m}$ 为平面 $BCA$ 的法向量，则有：

$\left\{ \begin{array}\\ 4m_y=0 \\ 4m_x +m_y +\sqrt{3} m_z=0 \end{array} \right.$

∴ $\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},0,-4)$

令 $\overrightarrow{n}$ 为平面 $BCE$ 的法向量，则有：

$\left\{ \begin{array}\\ 4n_x=0 \\ 4n_x +n_y +\sqrt{3} n_z=0 \end{array} \right.$

∴ $\overrightarrow{n}=(0,-\sqrt{3},1)$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot | \overrightarrow{n} |} = - \dfrac {2} {19} \sqrt{19}$

二面角 $E-BC-A$ 的余弦值为 $- \dfrac {2} {19} \sqrt{19}$ .

【提炼与提高】

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出面面垂直。

本题第2问，适合用向量方法解决。我们用两种方法分别计算，结果相同。用两种方法独立计算，可以直到验算的效果，避免因为一些低级失误而丢分。

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