复合函数分析法判断函数的单调性

2020-06-27 本文已影响0人天马无空

使用情景：简单的复合函数类型
解题步骤：
第一步先求函数的定义域；
第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；
第三步根据同增异减，确定原函数的增减区间.

例题：求函数 $y=\text{log}_{0.7}(x^2-3x+2)$ 的单调区间.
【解】：函数的定义域为 $(-\infty,1) \cup (2,+\infty)$
(由 $x^2-3x+2>0$ 解得)
设 $t=x^2-3x+2$ ， $y=\text{log}_{0.7}t$
$t=x^2-3x+2$ 在上 $(-\infty,1)$ 单调递减， $(2,+\infty)$ 在上单调递增
(开口向上的二次函数，对称轴( $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2\times 1}=\dfrac{3}{2}$ )左边递减，右边递增)
$y=\text{log}_{0.7}t$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递减的
(底数小于 $1$ 的对数函数在定义域内递减)
根据复合函数的单调性得函数 $y=\text{log}_{0.7}(x^2-3x+2)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty)$ 上单调递减.
(同增异减)
【注意】
函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导函数求函数的单调区间也必须先考虑函数的定义域.

复合函数分析法判断函数的单调性

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