大位移匹配LDDMM算法

文献追踪到这个15年前的文献，被引超过1500多次。旨在解决大位移图像的匹配，将大位移用积分分解的思路惊艳到我了，同时数学公式看到了头大。所以写下，做个记录。

• Beg, M. Faisal, et al. "Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomorphisms." International journal of computer vision 61.2 (2005): 139-157.

问题描述：

图像是个函数。
图像变换，。对函数的操作。记做.
微分同胚，diffeomorphic. 这个是个连续变换的概念。[参考逐渐僵化的笑脸]

The large deformation model for computing transformations developed by Christensen overcomes the limitations of the small deformations model by ensuring that the transformations computed between imagery are diffeomorphic.

• 目标是找到一个变换让图像距离最小

  
  

• 策略是将大变换换成小变换的组合。也就是说，最终的变换是逐渐产生的。

  
  
  生成一系列中间变换

• 最终的数学模型是这样子的，看来也不是很复杂哈。

  
  问题建模

问题求解。

这下就有点难度了。大致感觉就是用Euler-Lagrange equation走一遍，可是我看不懂。结论是：采用standard gradient descent的算法就完事了。这个欧拉方程推导回头再看看。

通过求解.

问题

这不就是流体力学中的transport equation吗？两种坐标系，两种解法，拉格朗日法和欧拉法

• 用拉氏方法，become computations on an unstructured mesh.

• 欧拉方法， in the Eulerian frame of reference.

• 时间步长的问题

The issue here is the choice of the size of the timestep.

• 混合方法 Semi-Lagrangian schemes.
• 在实际代码中，感觉还是用的简单的拉格朗日方法，cry!

Integrates a vector field via scaling and squaring.

Ref, A Git Repo

总结，除了细节还有点迷糊，大体的方法和手段都基本上可以说是了解了。

扩展

在理解了这个文章的思路后，我发现在PIV测量中还没有这么干的。而PIV中最关注的恰恰是速度量，所以拿过来到PIV中用下，写了个文章Diffeomorphic Particle Image Velocimetry，感兴趣的读者可以去看看效果。