FTS HW2

2020-03-17 本文已影响0人西瓜君666

1.

假设 $E[X]=2, Var(X)=9, E[Y]=0, Var(Y)=4, Corr(X,Y)=0.25$ ，求：
(a) $Var(X+Y)$
(b) $Cov(X,X+Y)$
(c) $Corr(X+Y,X-Y)$

2.

已知 $Var(X)=Var(Y)$ ，求 $Cov(X+Y, X-Y)$

3.

令 $X$ 的分布均值为 $\mu$ , 方差为 $\sigma ^2$ ，且令 $Y_t=X$ 对所有的 $t$ 均成立.
证明： ${Y_t}$ 是严平稳和弱平稳的

4.

令 ${e_t}$ 为零均值白噪声过程， $Y_t=e_t+\theta e_{t-1}$ ，求 ${Y_t}$ 的自相关函数，并证明 ${Y_t}$ 是弱平稳的

5.

假设 $Y_t=5+2t+X_t$ ，其中 ${X_t}$ 是零均值平稳序列，具有自协方差函数 $\gamma_k$
(a) 求 ${Y_t}$ 的均值函数
(b) 求 ${Y_t}$ 的自协方差函数
(c) { ${Y_t}$ } 是否平稳？为什么？

6.

设 ${X_t}$ 是平稳时间序列，定义
$Y_t= \begin{cases} X_t, & \text{当 t 是奇数时} \\ X_t+3, & \text{当 t 是偶数时} \end{cases}$
(a) 证明对所有的 $k$ ， $Cov(Y_t, Y_{t-k})$ 与 $t$ 无关
(b) ${Y_t}$ 平稳吗？为什么？

7.

假设 ${Y_t}$ 平稳，且有自协方差函数 $\gamma_k$
(a) 通过求 ${W_t}$ 的均值和自协方差函数，证明 $W_t=\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}$ 平稳
(b) 证明： $U_t=\nabla ^2 Y_t=\nabla[Y_t-Y_{t-1}]=Y_t-2Y_{t-1}+Y_{t-2}$ 是平稳的（不必求出 ${U_t}$ 的均值和自协方差函数）