等价类和商集

2023-06-26 本文已影响0人东方胖

对于集合 A上的元素，制造一个笛卡尔积，可以把两个元素凑在一起这件事视为一个所谓的关系

很典型的如整数集上的加法 $+$ ，总是需要有两个元素参与。现在先不考虑它的合成元是什么，光是凑在一起这件事，可以映射到 I × I ，这里的 I 是整数集
还可以有很多二元关系的表述，比如

两个正整数相乘等于100，是一种关系，我们可以找出所有这种组合
$(1, 100), (2, 50), (4, 25), (5,20), (10,10), (20, 5), (25, 4), (50, 2), (100, 1)$
整数中除以 7 余数是 1 的的数可以表示成 $7k + 1$ , 那么可以定义一种关系 $(x, y)$ 表示 7 可以整除 $(x - y)$ 只要是 $7k + 1$ 的数，它们就构成这种关系
整数中两个数的差时偶数构成一种关系

一般我们把集合中两个成员有关系记成 $xRy$
有些关系具有很好的结构和特性
像例子1 中，如果 $xRy$ 那么也有 $yRx$ 这是一种对称性

在例子 2 中，因为对每个 $x \in A$ 有 $7| (x - x)$ 即有 $xRx$ 这个有一个术语叫做反身性
同样是例子二 , 对任意的 $x, y, z \in A$ 如果 $x - y$ 能被 7 整除， $y - z$ 也能被 7 整除，那么
$x - z = (x - y) + (y - z) = 7m + 7n = 7(m+n)$
也能被 7 整除
即如果 $xRy, yRz$ 则有 $xRz$
这是传递性

一个关系 R 称为等价关系
如果R同时满足反身性，对称性，和传递性

等价关系的三性是一种存在的描述，如果集合中有那种元素，则怎么样，没有就不是。
举个例子，二元集合 $A = {x, y}$ 上有多少种关系？

由于关系就是笛卡尔积的子集。
罗列$ A × A = {x, x}, {y, y}, {x, y},{y,x} $$ 每个子集构成一个关系

从等价关系可以定义出一个叫做商集的东西
符号表达成
$\overline {A} = { \{T_x\}, x \in A}$ , $T_x$ 是所有和x等价的元素构成的集和
即 $T_x = \{{y| xRy, y \in A}\}$
比如例子 2，因为除 7 的余数可能情况只有 7种， 0，1,2,3,4,5,6
分别可以构成 7个等价类，简单把 $T_{i}$ 记成 [i]
这些集合互不相交，并且任何整数都会是其中的一个集合
所以整数在等价关系 R 的一个商集就是
$\{[0], [1],[2],[3],[4],[5],[6]\}$

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