3月24日（农历二月十八）蜗牛笔记

                                                                    ——《穷查理宝典》阅读笔记（6）

                                                                                        ——费马—帕斯卡系统

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费马—帕斯卡系统：是现代概率论的基础，来自一个概率论中的经典问题——点数问题（Problem of points），也叫赌注分配。

达芬奇的数学老师，帕西奥利最早在他的教科书中提到这个问题：说是A和B两个人，筹码相同，玩一种公平的、概率为1/2（类似掷硬币）的游戏。两人约定某个人赢到第10次的时候，游戏结束，赌注全部归胜者。但是游戏如果没有结束，筹码怎么分才合理呢？比如A赢了7次、B赢了6次。应该怎么分？

早期的两种观点：

1、按赢的次数来分，比如7：6，A拿到7/13，B拿到6/13。

这种分法问题很大，如果A赢了一次，游戏就结束。那么赢的次数是1：0，A赢了一次就拿走全部赌注，那肯定不合适。

2、赌注的分配应该考虑到两人比分的差距和游戏的总盘数。

这个分法有进步，但是也有问题，比如4：1和9：6，比分差距一样，但是区别很大，因为前者变数还比较大，而后者结局已经很明朗了。

直观的感觉是，赢的次数多的理应分得更多，但是具体应该分多少呢？

后来，费马和帕斯卡通过书信的形式讨论解决了这个问题。事实上，已经完成的赌局盘数不重要，决定胜负概率的是后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的（7：5）的局和总数20盘的（17：15），领先者的机会是一样的。所以应该关注的是，剩下需要去完成的盘数。

我们可以把问题简化为：A和B两个人，筹码相同，玩掷硬币游戏。先赢3次赢得全部赌注，假设现在A赢了2次，B赢了1次，赌注该怎么分？

费马的方法：结束赌局，最多还要2局，结果有四种可能，且概率相等。

A胜A胜

A胜B胜

B胜A胜

B胜B胜

所以，A、B获胜概率分别为3/4，1/4，分配方式应该是3：1。

帕斯卡的方法：

第一局A胜：A得到全部赌注。

第一局A输：两人平分赌注。

两种概率相同。

所以，A、B获胜概率分别为3/4，1/4，分配方式应该是3：1。

当然这是为了方便理解，举了最极端的例子。在通常情况下，帕斯卡给出了一个公式，计算一般情况下的分配方式。

r、s表示各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注，那么赌局还需要进行 r + s - 1 局就能得出胜负。

公式看不明白也没事，只需要知道这是人类真正拥有了期望这个概念，这就是概率的起点，概率是决策、风险理论的基础工具。

除了这个公式，还有一个更方便的“帕斯卡三角”，这个三角形的“塔尖”是一个1，这一行称为“0”行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1，每行里的数字是它上面两个数字之和。

我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里，2：1。最多需要2局结束战斗，所以我们来看第二行。

1 2 1

A赢了2次，再赢1次就赢得整个赌局。那么第一个数字就代表了B赢的概率。

同样地：

B赢了1次，再赢2次就赢得整个赌局。那么后面两个数字就代表了A赢的概率。

所以A：B=2+1：1=3：1

再来一个难一点的：先赢10次获胜，A、B分别赢了8次和7次，各还需2次、3次获胜，应该怎么分配？

还需要（r+s-1=2+3-1）4局就能得出胜负，所以看第四行。

1 4 16 4 1

A再赢2次就赢得整个赌局，那么前面2个数字代表了B赢的概率。

B再赢3次就赢得整个赌局，那么后面3个数字代表了A赢的概率。

所以分配方式A：B = (6+4+1)：(4+1)=11：5

可以看出，帕斯卡的方式方便很多，如果每次按照费马的方式列出所有可能的情况，还是比较困难，而且容易出错。

虽然方式不一样，但是帕斯卡与费马都给出了正确解答。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的可能性，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率。所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的，他们一起为现代概率理论和决策论奠定了基础。

概率是决策、风险理论的基础工具，但是人们不能自然、自动的做到这一点。

写在末尾➡️

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