贝叶斯定理与极大似然估计

2018-12-02 本文已影响0人帝都De雾霾

贝叶斯定理

贝叶斯定理是以条件概率为基础的，所以我们要首先复习下条件概率。
所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

文氏图
可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)

P(B)乘过去，易得：

同理：

从文氏图中很显然

所以可得：

最后我们就推导出了条件概率的计算公式：

上式也可以理解为贝叶斯定理的公式。

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。 $\frac{P(B|A)}{P(B)}$ 称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成下面的式子:

后验概率　＝　先验概率ｘ调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数" $\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$ ，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

三门问题

问题描述
三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的概率？

最开始的时候，我们对这三扇门之后有什么一无所知，所以我们最好的做法是公平对待三扇门，我们假设 $A_n$ (n=1,2,3) 为第n个门之后有汽车，那么我们有 $P(A_n)=1/3$
假设我们选择门1，主持人打开了门2，这时根据我们打开的门之后是否有汽车，主持人打开的门的概率是会有变化的：如果门1后有汽车，对于正常人来说，主持人打开门2和门3的概率基本上应该是一致的，为1/2；如果门2后有汽车，主持人打开门2的概率是0，如果门3后有汽车，主持人打开门2的概率是1
我们设事件 B = { 主持人打开了门2 }，那么我们可以得到：

假设 1 号门后是汽车，那2和3号门后都是羊，那么主持人打开门2和门3是一样的，概率都是0.5，即 $P(B|A_1)=\frac{1}{2}$ ,
假设 2 号门后是汽车，因为主持人已知汽车在哪个门后面，那么主持人是不会打开门2的，即 $P(B|A_2)=0$
假设 3 号门后是汽车，那么门1和门2后面都是羊，此时参赛者已经选择了1号门，主持人别无选择只能打开2号门，所以 $P(B|A_3)=1$
那么我们计算 $P(A_1|B)$ ，这个式子表示我们在得到主持人打开的门2后面没有汽车这个事实之后，对于 $P(A_1)$ 这个概率的调整：

而P(B)可以通过全概率公式计算:

很容易计算出:

所以三门问题的答案是如果换门会增加赢得汽车的概率。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

极大似然估计

要明白极大似然估计的思想，我们先来引入一个概念-似然函数

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。
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“似然性”与“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。
在已知某个参数 B 时，事件 A 会发生的概率写作 $P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P{B}}$ 。那么我们反过来构造表示似然性的方法：已知有事件 A 发生，运用似然函数 ${\mathbb {L}}(B\mid A)$ ，估计参数 B 的可能性。
形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了。

通过一个掷硬币的例子来解释下概率和似然函数的区别：

概率是给定某一参数值，求某一结果的可能性。

例如，抛一枚匀质硬币，抛10次，6次正面向上的可能性多大？ "匀质硬币"表明参数值是0.5，"抛10次，六次正面向上"这是一个结果，概率(probability)是求这一结果的可能性。使用公式：

n=10, k=6, P=0.5, Q=0.5, 计算得：0.205。
即，匀质硬币，抛10次，6次向上的概率是0.205

似然是给定某一结果，求某一参数值的可能性。

例如，抛一枚硬币，抛10次，结果是6次正面向上，其是匀质的可能性多大？"抛10次，结果是6次正面向"，这是一个给定的结果，问"匀质"的可能性，即求参数值=0.5的可能性。
计算公式与上面相同。结果相同，只是视角不同。

与此相联系的是最大似然法(极大似然法)，问题就变成：

"抛10次，结果是6次正面朝上，那么，参数P的最大可能值是什么？"。

当然，从0到1的可能性都有。怎么求出可能性最大的（即最像的）的呢？最基本的办法是一个一个试，先求参数值为0.01的可能性（即概率），再算参数值为0.02的概率，依此类推，直到0.99的概率，看看哪个参数值的概率最大，就把它作为参数的估计值，这就是最大似然法。
我们通过代码模拟下，看是否可以绘制出可视化的曲线：

from scipy.special import comb
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

#计算概率
def getProbability(n, k, p):
    return comb(n,k)*pow(p, k)*pow(1-p, (n-k))

result = []
for i in range(100):
    result.append(getProbability(10,6,0.01*i))

fig = plt.figure(figsize=(10, 5))
ax1 = fig.add_subplot(111)
ax1.plot(np.linspace(0, 1.0, num=100), result, 'ko')
ax1.set_title('最大似然估计')
fig.show()

image

可以看出参数值为0.6的概率最大，因此0.6就是用极大似然法求出的参数估计值。

但这只是一次实验的结果，如果我们进行大量的实验，并且每次投掷的次数也加大，参数值的估计值会趋于0.5。

贝叶斯定理与极大似然估计