算法学习之拓扑排序

拓扑排序的理解

拓扑排序的定义：

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
首先理解排序的规则：即若存在一条有向边从u到v，则在排序后的顺序里u在v的前面。并且每个点在这个拓扑序里只能出现一次。考虑为什么必须是有向无环图，首先无向显然是不行的，而如果存在环，则会存在冲突的前后关系。

对于这样一张图显然我们根据定义可得其拓扑序为：{1,2,4,3,5}。但是对于下面这张：

那么v2,v3谁在前面了？答案是都可以。于是有了两种拓扑序：{v1,v2,v3,v4}或{v1,v3,v2,v4}。
于是我们可以知道，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列，通常顺序会取决于我们求解的过程。

拓扑排序的解法

方法1：寻找入度为0的点

1、读入时记录每个点的入度。
2、遍历出所有入度为0的点，加入队列。
3、从队列里依次选择一个点，删除它的所有出边，将边连向的点入度减1。
4、执行3操作时判断入度减1后是否入度变为0，如果入度为0，加入队列。
5、重复执行3、4操作至所有点全部被处理。

如图：

关键代码：

for(int i = 1;i <= n;i++)
        if(in[i]==0)
            q.push(i);
while(!q.empty()){
        int u = q.front();
        q.pop();
        //printf("%d ",u);在这个时候输出要求的拓扑序
    int len = G[u].size();
        for(int i = 0;i < len;i++){
        int to = G[u][i];
            in[to]--;
            if(in[to] == 0) 
        q.push(to);
        }
}

注意：如果最后输出的拓扑序的顶点数小于总顶点数，则表明存在有向环；反之，则是DAG，只要任意时刻出现队列中元素个数大于1的情况，就有多个拓扑序。如果任意时刻队列中元素的个数始终为1，则有唯一的拓扑序。

方法2：dfs

其实就是在dfs的时候，对于一个点，在返回上一个调用处时，将其加入一个数组。最后答案就是这个数组的逆序。考虑正确性，对于一个点v,它将指向许多点，当这些点已经处理完后，v将返回上一个指向它的点的u,因为v指向的点必然在其后面，而u必然在它前面，所以依次加入他们是符合拓扑序的，只不过是逆序的。

关键代码：

void dfs(int u){
    int len = G[u].size();
    for(int i = 0;i < len;i++){
    int to = G[u][i];
        if(!vis[to]){
            vis[to] = true;
            dfs(to);
        }
    }
        
    ans[++num] = u;//注意答案是这个数组的逆序
}

int main(){
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        if(!vis[i]){
            vis[i]=true;
            dfs(i); 
        }   
}

模板例题：http://blog.csdn.net/qianguch/article/details/77412866

参考博客：https://blog.csdn.net/qianguch/article/details/77411160