函数、极限、连续

2019-05-08 本文已影响0人微斯人_吾谁与归

函数、极限、连续

一.函数

1.实数

2.数集-确界原理

3.函数

3.1函数

函数的定义：给定两个实数集D和M,若存在对应法则F,使得对D中的每一个数x都有唯一的一个数 $y \in M$ 与它对应，则称F是定义在数集D上的函数，记作： $\begin{array}{c}{f : D \rightarrow M} \\ {x \mapsto y}\end{array}$
函数常见表示法：
- 显示表示法： $y=f(x)$
- 隐式表示法: $F(x, y)=0$
- 复合函数表示法: $\left\{\begin{array}{l}{x=\varphi(t)} \\ {y=\psi(t)}\end{array}\right.$
几个特殊函数
1. 符号函数： $y=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ll}{-1,} & {x<0} \\ {0,} & {x=0,} \\ {1,} & {x>0}\end{array}\right.$ 可以发现 $|x|=x \operatorname{sgn} x$
2. 狄利克雷函数： $D(x)=\left\{\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right.$ 当x为有理数取值为1，无理数取值为0
3. 黎曼函数： $R(x)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{q}} \\ {0}\end{array}\right.$ ，当x=p/q,且p/q为既约真分数，p,q为正整数时取1/q,当x在（0,1）且为无理数取0.
4. 取整函数: $y=[x]=\left\{\begin{array}{ll}{m,} & {x=m} \\ {m-1,} & {m-1 \leqslant x<m}\end{array}\right.(m \in \mathbf{Z})$ ,取整函数的性质为 $x-1<[x] \leqslant x ;[x+m]=[x]+m(m \in \mathbf{Z})$
复合函数

设 $y=f(u)\left(u \in D_{0}\right), u=\varphi(x)(x \in D)$ 且 $u=\varphi(x)$ ，的值域 $R \subset D_{0}$ ，则称 $y=f[\varphi(x)]$ 为复合函数。复合函数的定义域一般为内函数与外函数都有意义的交集。
反函数：设y=f(x)为单调函数，由这个函数解出 $x=\varphi(y)$ 称为反函数
基本初等函数
- 常量函数 $为常数y=c,c为常数$
- 幂函数： $y=x^{a}$ ，a为实数
- 指数函数： $y=a^{*}(a>0, a \neq 1)$
- 对数函数： $y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$
- 三角函数： $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$
- 反三角函数： $\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \operatorname{arccot} x$

3.2函数的一些初等特性

初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的函数统称为初等函数。不是初等函数的函数统称为非初等函数，如黎曼函数。
函数的一些初等特性
- 有界限：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个 $x \in D$ ,有 $|f(x)| \leqslant M$ ，则称f为D上的有界函数。有界表示既有上届又有下届，既图像在y=|M|之间。
  
  无界性：设f为定义在D上的函数，若对任何M,都存在 $x_0 \in D$ ,使得f(X0)>M,则称f是D上的无上届函数。

快照12.png

单调性：
奇偶性：定义域关于原点对称，且....
周期性：

二.极限

1.基本概念

1.1定义

数列极限 $(\varepsilon-N)$ ：

设{ $a_n$ }为数列，a为定数，若对任何的正数 $\varepsilon$ ,总存在正整数N,使得当n>N时有 $\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$ ，则称数列{ $a_n$ }收敛于a,称为数列{ $a_n$ }极限，记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ .
- 1.若{ $a_n$ }不收敛，则称为发散数列。
- 2. $\varepsilon$ 取值是任意的，用来衡量{ $a_n$ }与a的接近程度，
- 3.N是相应的，N的变化随着 $\varepsilon$ 而变化，N依赖 $\varepsilon$ ，但是 $\varepsilon$ 不能决定N
- 4.给定 $\varepsilon$ >0,若 $U(a ;\varepsilon)$ 之外数列{ $a_n$ }中的项至多只有有限多个，则称数列{ $a_n$ }收敛极限a.
- $其中\lim _{a \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1, 其中 a>0$ ，
- $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n !}=0$

函数极限：

类型	定义
自变量趋于有限值 $(\varepsilon-N)$	若对任何的正数 $\varepsilon$ ,总存在 $\delta>0$ ，当 0<
自变量趋于正无穷	若对任意正数 $\varepsilon$ ，总存在X>0,当x>X时，有
自变量趋于负无穷	若对任意正数 $\varepsilon$ ，总存在X>0,当x<-X时，有
自变量趋于无穷	若对任意正数 $\varepsilon$ ，总存在X>0,当

极限分类	定义
右极限	若对任何的正数 $\varepsilon$ ,总存在 $\delta>0$ ,当a<x<a+ $\delta$ ,有
左极限	若对任何的正数 $\varepsilon$ ,总存在 $\delta>0$ ,当a- $\delta$ <x<a,有

极限是否存在与该函数在此点是否有定义无关。该点无定义极限任可能存在，如 $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$ 在x=1处。
极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
一般在分段函数，或表达式中含有 $a^{\frac{E(x)}{x-b}}$ 时，或是取整函数，或是 $当\arctan \frac{1}{x}\left(当 x \rightarrow 0\right)$ 可能会左右极限不相等，要重点注意。

1.2无穷大无穷小

无穷小：若 $\lim _{x \rightarrow \Delta} \alpha(x)=0$ ，则称 $\alpha(x)$ 为当 $x \rightarrow \Delta$ 的无穷小
无穷大：若 $\lim _{x \rightarrow \Delta} \alpha(x)=\infty$ ，则称 $\alpha(x)$ 为当 $x \rightarrow \Delta$ 的无穷大
无穷小之间的比较

当 $\alpha \rightarrow 0, \beta \rightarrow 0$
- 高阶无穷小： $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ 则称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的高阶无穷小，记为 $\beta=o(\alpha)$
- 同阶无穷小： $\lim \frac{\beta}{\alpha}=K$ ，则称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的同阶无穷小，记为 $\beta=O(\alpha)$ 。
- 等价无穷小： $\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$ ，则称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的等价无穷小，记为 $\alpha \sim \beta$
无穷小的倒数是无穷大；无穷小即以零为极限的函数；0是无穷小，但是无穷小不一定是0.
无穷小的性质
- 无穷小的积和差还是无穷小
- 设 $|\alpha| \leqslant M, \beta \rightarrow 0$ ， $\alpha \beta \rightarrow 0$ ，无穷小与有界函数之和还是无穷小
- 自反性，等价性，传递性
- 常用的等价无穷小 $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1+x) \sim \mathrm{e}^{x}-1$
  $1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}, 1-\cos ^{a} x \sim \frac{a}{2} x^{2}$
  $(1+x)^{a}-1 \sim a x .$ ，

2.极限的性质

唯一性定理:
- 若数列收敛，那么数列只有一个极限。
- 若极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，那么此极限唯一
有界性定理：
- 若数列收敛，则数列有界
- 若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则f(x)在 $x_0$ 的空心领域 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 内有界。
极限的保号性

列与子列极限的关系

若数列极限存在，那么数列的任意子列极限也存在。

推论： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在的充分必要条件是 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n-1}$ 都存在且相等。

3.极限的存在性定理

迫敛定理：
- 设收敛数列{ $a_n$ }{ $b_n$ }都以a为极限，数列{ $c_n$ }满足：存在正数 $N_0$ ,当n> $N_0$ 时有， $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}$ ，则数列{ $c_n$ }收敛，且 ${c_n}$ 以a为极限。
- 设 $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ ，且 $\lim f(x)=\operatorname{limh}(x)=A$ ，则 $\lim g(x)=A$
单调有界定理
- 在实数系中，有界的单调数列必有极限。
- 若f(x)在 $[a,+\infty)$ 上单调递增且 $f(x)$ 有上界，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
- 若f(x)在 $[a,+\infty)$ 上单调递减且 $f(x)$ 有下界，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在

4.极限的运算

四则运算
1. 若两个函数有一个极限不存在，则四则运算不成立
2. 若两个都不存在，那么四则运算的结果不一定不存在
3. 比如 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 2 x}{x}+\frac{1}{x}\right)$ 与 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1-x)}{x}-\frac{1}{x}\right]$ 都不存在，但 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\left(\frac{\sin 2 x}{x}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{\ln (1-x)}{x}-\frac{1}{x}\right)\right]=1$ 。
4. 设 $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B$
  - $(1) \lim [f(x) \pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A \pm B$
  - $\lim f(x) g(x)=\lim f(x) \lim g(x)=A B$
  - $\lim k f(x)=k \lim f(x)=k A$
  - $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B \neq 0)$

复合运算
1. 设 $\lim _{u \rightarrow a} f(u)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a$ ，则 $\lim _{r \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=A$
2. 设 $\lim _{u \rightarrow a} f(u)=f(a), \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=a$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=f\left[\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)\right]=f(a)$

三.连续

1.连续的概念

1.1连续的定义

定义1：设函数f(x)在U( $x_0$ )有定义，若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(x)=f\left(x_{0}\right)$ ，称f在点 $x_0$ 处连续
d定义2：若对任意的，存在，使得当时有，称函数f在处连续
- 连续要求在 $x_0$ 处有定义
- 极限存在且极限值与函数值相等
- 若f在 $x_0$ 处连续意味着lim与f可交换，即 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(\lim _{x \rightarrow x_{0}}\right)$

1.2左右连续

定义：设函数在某 $U_{+}\left(x_{0}\right)\left(U_{-}\left(x_{0}\right)\right)$ 内有定义，若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}}(x)=f\left(x_{0}\right)\left(\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}}(x)=f\left(x_{0}\right)\right)$ ，称f在 $x_0$ 处右（左）连续

1.3左右连续与连续之间的关系

函数f在 $x_0$ 连续的充分必要条件是，f在 $x_0$ 左右连续都均在。

2.间断点的分类

2.1间断点定义

设f在 $U^{o}(x_{0})$ 上有定义，若f在 $x_0$ 处无定义，或者f在 $x_0$ 处有定义而不连续，称点 $x_0$ 为f的间断点或不连续点

2.2可取间断点

见下图

2.3跳跃间断点

见下图

快照12.png

3.连续函数的性质

连续函数：若函数在区间I每一点都连续，称 $f$ 为I上的连续函数，对于闭区间或是半开半闭区间的端点，函数在这些点上的连续是指左连续或右连续

性质
- 有界定理：若 $f(x) \in C[a, b]$ ，那么f(x)在闭区间[a,b]有界
- 最值定理：若 $f(x) \in C[a, b]$ ，那么f(x)在闭区间[a,b]有最大最小值。
- 零点定理：若 $f(x) \in C[a, b]$ ，且 $f(a) f(b)<0$ ，那么至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
- 介值定理：若 $f(x) \in C[a, b]$ ，M,N为区间的最大最小值，那么对任意 $\eta \in[m, M]$ ，至少存在一点 $\xi \in[a, b]$ ，有 $f(\xi)=\eta$ 。
- 四则运算连续：f,g在x点处连续，则f+g,f-g,f*g,f/g(g(x)!=0)，在x处依然连续
- 反函数连续性：若f在闭区间[a,b]严格单调并连续，那么其反函数[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续
- 复合函数连续性：若函数f在点 $x_0$ 连续，g在 $u_0$ 连续，u=f( $x_0$ ),则复合函数g.f在点 $x_0$ 连续
- 初等函数连续性：初等函数在其定义域上均连续
- 一致连续性：