数值分析汇总——数学竞赛

2019-02-10 本文已影响0人抄书侠

第五届：给定多项式序列 $T_{0}(x)=1, T_{1}(x)=x$
$T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x), n=1,2, \dots$
求证：(1)当 $x\in[-1,1]$ 时， $T_n(x)=cos(n\ arccosx)$
(2)设 $C[-1,1]$ 是区间 $[-1,1]$ 上连续函数构成的内积空间，其中内积定义为 $\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} \frac{f(x) g(x)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ 则 $T_n(x)$ 是该内积空间的正交多项式，即当 $n\not= m$ 时 $<T_n(x),T_m(x)>=0$
(3)设 $P(x)$ 是次数为 $n$ 的首项系数为1的多项式，求证： $\|P(x)\|_{\infty} \geqslant \frac{1}{2^{n-1}}$ 且等号成立当且仅当 $P(x)=\frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ 这里 $\|P(x)\|_{\infty}=\max _{x \in[-1,1]}|P(x)|$
第六届：考虑求解线性方程组 $Ax=b$ 的如下迭代格式 $(\alpha D-C) \mathbf{x}^{(k+1)}=\left((\alpha-1) D+C^{T}\right) \mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{b}$
其中 $D$ 为实对称正定方阵， $C$ 是满足 $C+C^T=D-A$ 的实方阵， $\alpha$ 为实数。若 $A$ 是实对称正定方阵，且 $\alpha D-C$ 可逆， $\alpha>1/2$ 证明：上述迭代格式对任意初始向量 $x^{(0)}$ 收敛
第七届：实系数多项式 $p(x)$ 的模1范数定义为 $\|p\|_{1} :=\int_{0}^{1}|p(x)| d x$
1.求二次实系数多项式 $p(x)$ 使得 $p(x)\leqx^3$ ，对任意 $x\in[0,1]$ 成立，且 $\left\|x^{3}-p(x)\right\|_{1}$ 达到最小
2.求三次实系数多项式 $p(x)$ 使得 $p(x)\leq x^4$ 对任意的 $x\in [0,1]$ 成立，且 $\left\|x^{4}-p(x)\right\|_{1}$ 达到最小
第八届：考虑求解一阶常微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}{y^{\prime}=f(x, y)} \\ {y\left(x_{0}\right)=y_{0}}\end{array}\right.$ 的 $Runge-Kutta$ 法
(1)确定下列三级三阶 $Runge-Kutta$ 法中的所有特定参数： $y_{n+1}=y_{n}+h\left(c_{1} K_{1}+c_{2} K_{2}+c_{3} K_{3}\right)$
其中：
$K_{1}=f\left(x_{n}, y_{n}\right), K_{2}=f\left(x_{n}+a h, y_{n}+b_{21} h K_{1}\right), K_{3}=f\left(x_{n}+a_{3} h, y_{n}+b_{31} h K_{1}+b_{32} h K_{2}\right)$
(2)讨论上述 $Runge-Kutta$ 格式的稳定性
第九届：推到求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式，并证明该格式经有限步迭代后收敛。

数值分析汇总——数学竞赛

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