算法与数据结构系列之[二叉树-上]

2019-07-09 本文已影响7人秦老厮

上篇从整体上介绍了树的一些基本概念，编程中我们用到的都是具体的树结构，比如二叉树。接下来我们用上、中、下三篇详细介绍二叉树，其中上篇为二叉树的理论部分，中篇为二叉树的C语言代码实现，下篇为二叉树的Java代码实现。

前言
现实中树的种类有很多种，数据结构中树的种类也不是单一的，有二叉树，B树，B+树，红黑树等，二叉树应该说是最常用的一种树形结构，这篇就重点介绍下二叉树。

一、二叉树的定义：
二叉树，顾名思义，就是每个节点最多有两个子树的树，分别是左子树和右子树，要注意这里用到“最多”这个词，就是说二叉树并不要求每个节点必须有两个子节点，有的节点只有左节点，有的节点只有右节点，同样叫做二叉树。
下图中列出几种二叉树：

图一

二、满二叉树和完全二叉树：
上图中有两个特殊的二叉树，分别是第二个和第三个。
其中第二个二叉树，叶子节点全部在最底层，除叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。

上图第三个树，叶子节点在最下两层，最后一层的叶子节点向左连续排列，倒数第二层的叶子节点向右连续排列，这种二叉树叫做完全二叉树。

满二叉树比较好理解，完全二叉树有时容易混淆，下面这幅图列出几种非完全二叉树的情况：

图二

图二中的六棵二叉树都不是完全二叉树，上一排不满足条件一：最后一层叶子节点向左连续排列，下一排不满足条件二：倒数第二层的叶子节点向右连续排列，我们具体分析一下每棵树不满足条件的情况。

树1第三层5这个节点没有左子节点，从而导致最后一层的叶子节点从11到8向左不连续，加上5的左子节点10就连续了。树2第三层5这个节点没有子节点，导致从6的左子节点12到8不连续，缺少了5的左右子节点10和11，加上这两个节点就连续了。树3是第三层的4这个节点没有左子节点，导致从5的右子节点11向左不连续，也就是说最后一层最左边的叶子节点一定要有，否则就不是完全二叉树。

树4第二层的3这个节点没有子节点，导致倒数第二层没有叶子节点，从2的左子节点4向右不连续，最右边的叶子节点一定要有。树5第二层3这个节点只有左子节点6，没有右子节点，也不连续，和树4情况类似。树6第二层3这个节点只有右子节点7，没有左子节点，从而导致从4向右到7不连续。其实，要满足完全二叉树的条件，倒数第二层的节点个数要达到最大，也就是倒数第二层往上的每一层的每一个节点都要有两个子节点。所以完全二叉树的定义还可以是这样：叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左连续排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大。

给图二中的每棵非完全二叉树适当加上一些节点，就可以转换为完全二叉树，如下图所示：

图三
三、二叉树的存储方式：

3.1、顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的节点，并且数组的下标要能够体现节点之间的逻辑关系，比如父节点与子节点的关系，左右兄弟节点的关系。虽然二叉树的节点是以数组的方式存储，但要求能够以遍历树的方式遍历存储二叉树节点的数组，也就是可以用前序遍历，中序遍历，后序遍历的方式遍历数组。顺序存储结构只适合于完全二叉树，非完全二叉树并不适合用顺序存储结构，因为非完全二叉树会浪费比较多的存储空间，下面会用图说明这点的。
如下图，顺序结构图示：

图四
图四中前一棵二叉树的根节点存储在数组中下标为0的位置，此时数组中第n个元素的左子节点我2n+1,第n个元素的右节点为2n+2，第n个元素的父节点为(n-1)/2。

为了方便计算子节点，图四中后一棵二叉树的很节点存储在数组下标为1的位置，此时数组中第n个元素的左子节点为2n，第n个元素的右子节点为2n+1，第n个节点的父节点为n/2。

下图说明非完全二叉树顺序存储浪费存储空间的问题

图五

3.2、链式存储结构

顺序存储结构只适用于完全二叉树，大多数的情况还是要用到链式存储结构，可以用双向链表来存储二叉树的节点，这个双向量表包括一个数据域，两个指针域分别指向左子节点和右子节点，这样的链表称为二叉链表。

链式存储结构如下图所示：

图六

二叉链表的节点结构定义代码：

typedef struct BinaryTreeNode{
    TElemType data;
    struct BinaryTreeNode *left,*right;
}BinaryTreeNode,*BinaryTree;

四、二叉树的创建

要对二叉树进行操作，首先要创建一棵二叉树，接下来才可以对二叉树进行诸如遍历等操作，这里的创建二叉树代码只是创建二叉树的逻辑实现，并不是完善的代码，缺少相应的提示内容，并且不能单独执行，完善的代码将在后面具体的代码文章中列出。二叉树的创建和遍历都要用到递归的方法，对递归不熟练的小伙伴要自己补一下递归算法的相关内容。

void CreateBinaryTree(BinaryTree *T){
   TElemTpye val;
   scanf("%d",&val);
   if(val <= 0){    //val小于等于0都表示空树，这里是为了方便才这么写，其实0和负数是可以作为二叉树的节点的
       *T = NULL;
       return;
   }

   *T =(BinaryTree) malloc(sizeof(BinaryTreeNode));
   if(!*T)
       exit(-1);
   (*T)->data = val;
   CreateBinaryTree(&(*T)->left);
   CreateBinaryTree(&(*T)->right);
}

五、二叉树的遍历
二叉树的遍历是二叉树非常重要的操作，需要用到递归算法，经典的遍历方法有三种，分别是前序遍历、中序遍历、后序遍历。

前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历：先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

看输出父节点的顺序，确定是前序，中序还是后序遍历，输出父节点在先就是前序，输出父节点在中就是中序，输出父节点在后就是后序。

下面通过画图的方式详细描述这三种遍历方式：

图七

前序遍历代码：

void PreOrder(BinaryTree node){
    if(node == NULL)
        return;
    printf("%d",node->data);
    PreOrder(node->left);
    PreOrder(node->right);
}

中序遍历代码：

void InOrder(BinaryTree node){
    if(node == NULL)
        return;
    InOrder(node->left);
    printf("%d",node->data);
    InOrder(node->right);
}

后序遍历代码：

void PostOrder(BinaryTree node){
    if(node == NULL)
        return;
    PostOrder(node->left);
    PostOrder(node->right);
    printf("%d",node->data);
}

六、总结
这篇主要介绍了二叉树的定义，两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树，通过画图方式重点掌握完全二叉树的定义和辨别。接着介绍了二叉树的两种存储结构：顺序存储结构和链式存储结构，要注意顺序存储结构只适用于完全二叉树。最后介绍了二叉树的创建以及遍历方法，其中二叉树的三种遍历方法尤为重要，要掌握递归的内涵，能够利用递归方法遍历二叉树。其实二叉树还有一些不是特别重要的操作，这里不做赘述，将在后面完整的代码中体现。接下来的两篇将完整的C语言和Java代码贴出来，以供大家参考。

算法与数据结构系列之[二叉树-上]

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