【数学建模算法】(16)排队论：常用的几种概率分布及产生

2019-08-16 本文已影响2人热爱学习的高老板

本文只给出分布的参数，记号和常用的范围，更多详细内容请参看概率论书籍。

1.常用的连续性概率分布

1.1.均匀分布

区间 $(a,b)$ 内的均匀分布记做 $U(a, b)$ 。服从 $U(0,1)$ 分布的随机变量又称为随机数，它是产生其他随机变量的基础。如若 $X$ 为 $U(0,1)$ 分布，则 $Y=a+(b-a) X$ 服从 $U(a, b)$ 。

1.2.正态分布

以 $\mu$ 为期望， $\sigma^{2}$ 为方差的正态分布记做 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 。正态分布的应用十分广泛。正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似。

1.3.指数分布

指数分布是单参数 $\lambda$ 的非对称分布，记做 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ ，概率密度函数为：
$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}{\lambda e^{-\lambda t},} & {t \geq 0} \\ {0,} & {t<0}\end{array}\right.$
数学期望为 $\frac{1}{\lambda}$ ，方差为 $\frac{1}{\lambda^{2}}$ 。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量，既有 $P(X>t+s | X>t)=P(X>s)$ ，在排队论，可靠性分析中有广泛应用。

1.4.Gamma分布

Gamma分布是双参数 $\alpha, \beta$ 的非对称分布，记做 $G(\alpha, \beta)$ ，期望是 $\alpha \beta$ 。 $\alpha=1$ 时退化为指数分布。 $n$ 个相互独立，同分布（参数 $\lambda$ ）的指数分布之和是Gamma分布 $(\alpha=n, \beta=\lambda)$ 。Gamma分布可用于服务时间，零件寿命等。
Gamma分布又称为埃尔朗分布。

1.5.Weibull分布

Weibull分布是双参数 $\alpha, \beta$ 的非对称分布，记做 $W(\alpha, \beta)$ 。 $\alpha=1$ 时退化为指数分布。作为设备，零件的寿命分布在可靠性分析中有非常广泛的应用。

1.6.Beta分布

Beta分布是区间 $(0,1)$ 内的双参数，非均匀分布，记做 $B(\alpha, \beta)$ 。

2.常用的离散型概率分布

2.1.离散均匀分布（略）

2.2.伯努利分布（两点分布）

伯努利分布是 $x=1,0$ 处取值的概率分别是 $p$ 和 $1-p$ 的两点分布，记做 $\operatorname{Bern}(p)$ 。用于基本的离散模型。

2.3.泊松分布

泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 $\lambda$ 的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数 $K$ 服从泊松分布，即单位时间内到达 $k$ 位顾客的概率为：
$P_{k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}, \quad k=0,1,2, \cdots$
记做 $Poisson(\lambda)$ 。泊松分布在排队服务，产品检验，生物与医学统计，天文，物理等领域都有广泛应用。

2.4.二项分布

在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 $p$ ，则 $n$ 次实验中该事件发生的次数 $K$ 服从二项分布，即发生 $k$ 次的概率为：
$P_{k}=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1, \cdots, n$
记做 $B(n, p)$ 。二项分布是 $n$ 个独立的伯努利分布之和。它在产品检验，保险，生物和医学统计等领域有着广泛的应用。
当 $n,k$ 很大时， $B(n, p)$ 近似于正态分布 $N(n p, n p(1-p))$ ；当 $n$ 很大， $p$ 很小，且 $np$ 约为常数 $\lambda$ 时， $B(n, p)$ 近似于 $Poisson (\lambda)$