函数的“不可积”问题

2019-12-31  本文已影响0人  洛玖言

函数的“不可积”问题

这里的“不可积”指的是原函数不能表示成初等函数的形式

常见的“不可积”的例子

三角积分类

\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{\cos x}{x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{\tan x}{x^n},\;\int x^n\tan x\text{d}x

\displaystyle\int\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^n\text{d}x,\;\int\left(\dfrac{x}{\cos x}\right)^n\text{d}x,\;\int\left(\dfrac{x}{\tan x}\right)^n\text{d}x

菲涅尔积分类型

\displaystyle\int\sin x^2\text{d}x,\;\int\cos x^2\text{d}x,\;\int\tan x^2\text{d}x

贝塞尔积分

\displaystyle\int\cos(x\sin x)\text{d}x

Laplace 积分

\displaystyle\int\dfrac{\cos\beta x}{1+x^2}\text{d}x

高斯积分类

\displaystyle\int e^{ax^2+bx+c}\text{d}x

\displaystyle\int x^ne^{ax^2+bx+c}\text{d}x

指数积分类型

\displaystyle\int\dfrac{e^{ax}}{x}\text{d}x,\;\int\dfrac{e^{ax}}{a+x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{x^n}{1\pm e^x}\text{d}x

对数积分类型

\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\ln x},\;\int\dfrac{\ln x\text{d}x}{1+x^2},\;\int\ln\sin x\text{d}x,\;\int\ln\cos x\text{d}x,\;\int\ln\tan x\text{d}x

\displaystyle\int\ln(a+b\sin x)\text{d}x,\;\int\ln(a+b\cos x)\text{d}x,\int\ln(a+b\tan x)\text{d}x

\displaystyle\int\ln\ln\sin x\text{d}x,\;\int\ln\ln\cos x\text{d}x,\;\int\ln\ln\tan x\text{d}x

椭圆积分类

\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\text{d}x,\;\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}\text{d}x

\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1\pm x^n}}\text{d}x,\;\int\sqrt{1\pm x^n}\text{d}x\;(n\geqslant3)

常见的特殊函数

Beta 函数

\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\;(p,q>0)

Gamma 函数

\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\text{d}x,\;(s>0)

误差函数

\displaystyle\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-x^2}\text{d}x

互补误差函数

\displaystyle \text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x

zeta 函数

\displaystyle\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^s}

狄拉克雷 eta 函数

\displaystyle\eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)

多重对数函数 Polylog

\displaystyle\text{Li}_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k^n}

果然考试周就是不务正业

还有超几何分布函数,惠特克函数,贝塞尔函数,椭圆函数

更多的特殊函数可以参考 特殊函数概论(王竹溪)

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