高等数学预备知识

2018-08-27 本文已影响0人老王和坑坑

极坐标

极坐标系是由极轴、极径组成
极坐标系上的点表示为(ρ,θ)
极坐标系上的点 $m(\rho,\theta)$ 转换成直角坐标 $(x,y)$
$x=\rho cos\theta , y=\rho sin\theta$
直角坐标系上的点 $m(x,y)$ 转换成 $(\rho,\theta)$
$x^2+y^2=\rho^2,tan\theta=\frac{x}{y}$

虚数和复数

$i^1=i,i^2=-1,i^3=i,i^4=1$
复数的表示方法： $a+bi\ (a\in R,b\in R)$

三角函数

	$sin$	$cos$	$tan$
$\frac{\pi}{6}(30°)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{3}(60°)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}(45°)$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$

二角和差公式

$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$
$sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$
$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
$tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$
$tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$

和差化积

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
$sin\alpha+sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$sin\alpha-sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$cos\alpha+cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$cos\alpha-cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$tan\alpha+tan\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos\beta}$

积化和差公式

$cos\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha - \beta)]$
$sin\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha + \beta)]$
$cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]$
$sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$

二倍角公式

$sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=\frac{2tan\alpha}{1+tan^2\alpha}$
$cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=\frac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}$

辅助角公式

$asin\alpha+bcos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\gamma)\ , \ tan\gamma=\frac{a}{b}$

函数

表示方法 $y=f(x)$
函数的几个特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性
初等函数包含幂函数、指数函数、对数函数、三角函数

数列

	通项	求和公式
等差数列	$a_n=a_1+(n-1)\times d$	$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}\times d$
等比数列	$a_n=a_1q^{n-1}$	$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq 1)$

导数

$(c)'=0$	$(a^x)'=a^xlna$
$(x^\upsilon )'=\upsilon x^{\upsilon-1}$	$(lnx)'=\frac{1}{x}$
$(sinx)'=cosx$	$(cosx)'=-sinx$
$({log_{a}}^{x})'=\frac{1}{xlna}$	$(e^x)'=e^x$
$(\upsilon \pm \nu)'=\upsilon'\pm\nu'$	$(c\upsilon)'=c\upsilon'$
$(\upsilon\nu)'=\upsilon'\nu+\upsilon\nu'$	$(\frac{\upsilon}{\nu})'=\frac{\upsilon'\nu-\upsilon\nu'}{\nu^2}$