LeetCode62-不同路径-动态规划

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

图表

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

思路分析

动态规划三步：

• 第一步找到dp数组的定义，我们可以定义dp[i][j]表示从(0,0)坐标点出发到达坐标点(i,j)的所有路径，对于m行n列的所有路径就是dp[m-1][n-1]的值；
• 第二步是找到数组元素之间的关系。首先考虑第一行和第一列的情况，因为只能向下和向右，第一行只能一直向右走，第一列只能向下走(不能向左或向上)，所以dp[0][i]和dp[j][0]的值为1；针对于中间的坐标点(i,j),i>0,j>0有两个方向可以到达，一个方向是(i-1,j),一个方向是(i,j-1)，分别从它上边和左边，所以我们可以得到关系：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],i>0,j>0；
• 第三步找到初始值，在第二步的时候我们已经知道了第一行和第一列的值为1；

代码实现

public class Solution62 {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //`dp[i][j]`表示从`(0,0)`坐标点出发到达坐标点`(i,j)`的所有路径
        int[][] dp = new int[m][n];
        ///第一行
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        ///第一列
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        ///中间部分
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution62 solution62 = new Solution62();
        System.out.println("res:" + solution62.uniquePaths(3, 2));
        System.out.println("res:" + solution62.uniquePaths(7, 3));
    }
}

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