基础量子物理科普（8）果然还是薛定谔方程 解析法

2020-04-01  本文已影响0人  Never肥宅

又回到了亲爱的定态薛定谔方程-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2 }+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi =E\psi
引入一个无量纲的变量简化公式
\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x
则薛定谔方程为
\frac{d^2\psi}{d\xi^2}=(\xi^2-K)\psi
其中K=\frac{2E}{\hbar\omega }是以0.5\hbar\omega为单位的能量
当\xi非常大的时候
原方程近似为
\frac{d^2\psi}{d\xi^2}\approx \xi^2\psi
其近似解为
\psi(\xi)\approx Ae^{-\xi^2/2}+Be^{\xi^2/2}
为了使其可以归一化，B=0
\psi(\xi) = h(\xi)e^{\xi^2/2}
对其求导有
\frac{d\psi}{d\xi}=（\frac{dh}{d\xi} -\xi h）e^{-\xi^2/2}
\frac{d^2\psi}{d\xi^2}=(\frac{d^2h}{d\xi^2 }-2\xi\frac{dh}{d\xi }+(\xi^2-1)h)e^{-\xi^2/2}
将其代回薛定谔方程，有
\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h=0
h(\xi)=a_0+a_1\xi+a_2\xi^2+...=\Sigma_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j
\frac{dh}{d\xi}=a_1+2a_2\xi+3a_3\xi^2+...
\frac{d^2h}{d\xi^2}=2a_2+2\times 3a_3\xi+......=\Sigma_{j=0}^{\infty}(j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^j
带入有h的薛定谔方程
\Sigma_{j=0}^{\infty}[(j+1)(j+2)a_{j+2}-2ja_j+(K-1)a_j]\xi^j=0
每一个幂次前的系数必须为0
因此有数列递推公式
a_{j+2}=\frac{2j+1-K}{(j+1)(j+2)}a_{j}
从a0开始可以推出所有的偶系数，从a1开始可以推出所有的奇系数
完整的解即为
h(\xi)=h_{偶}(\xi)+h_{奇}(\xi)
其中
h_{偶}=a_0+a_2\xi^2+a_4\xi^4...
h_{奇}=a_1\xi+a_3\xi^3+a_5\xi^5...

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