高中数学纲目

三角之目：2022年新高考全国卷题17

2022-06-08 本文已影响0人易水樵

2022年新高考全国卷题17

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ ，且 $b\sin C=\sin C +\sqrt{3}\cos C$ , $A=\dfrac{\pi}{3}$ .

（1）求 $c$ ；

（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由.

① $BC$ 边上的中线长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

② $AB$ 边上的中线长为 $\sqrt{7}$ ，

③ 三角形的周长为 $6$ .

【解答问题1】

$A=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \cos A = \dfrac{1}{2}, \sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\sin C +\sqrt{3}\cos C=2 (\sin C \cos A + \cos C \sin A)=2\sin(C+A)$ ,

又∵ $\sin(C+A)=\sin B$ ,

$b\sin C = 2 \sin B$ ,

$b \cdot 2R\sin C=2 \cdot 2R\sin B$ ,

$bc = 2b$ ,

$c=2$ .

从应试的角度来说，考生应当对三个条件作一个简单的评估，选择一个自己最熟悉的作答；
从备考的角度来说，三种都要会做，将来才能考出好成绩。
三个补充条件中，以条件 ③ 最简单，所以这里先讲它。

【解答问题2：条件 ③ 】

根据余弦定理， $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos A$

根据前节结论， $c=2$ , ∴ $a+b=4$ , 代入上式得：

$(4-b)^2=b^2+4 -2b$

解得： $b=2, a=2$ .

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \sqrt{3}$ .

【解答问题2：条件 ① 】

以点 $A$ 为原点，以 $AB$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系.

三个顶点的坐标为：

$A(0,0), B(2,0), C(b \cos A, b\sin A)$

记 $BC$ 中点为 $M$ , 则其坐标为 $M(1+\dfrac{b}{2}\cos A, \dfrac{b}{2}\sin A)$ ,

∵ $BC$ 边上的中线 $AM$ 长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ,

∴ $(1+\dfrac{b}{2}\cos A) + (\dfrac{b}{2}\sin A) = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}=0$

$(b+1)^2=-1$

此方程没有实数根，所以，满足条件 ① 的三角形不存在.

【解答问题2：条件 ② 】

记 $AB$ 中点为 $N$ . 在 $\triangle ANC$ 中，根据余弦定理可得：

$CN^2 = AC^2 + AN^2 -2 AC \cdot AN \cdot \cos A$

$7=b^2-b+1$

$(b-3)(b+2)=0$

又∵ $b \gt 0$ , ∴ $b=3$ .

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc \cdot \sin A$

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{3}{2}\sqrt{3}$

【提炼与提高】

目前来说，高考制度难以作出大的改革。在大框架不变的前提下，具体的做法上作一些调整，是现实的，也是有益的。

笔者认为：在一个大题中提供三个条件，是一种非常好的做法。好处在于：引导考生，先对问题进行评估，制订解题计划，再执行计划。

对备考的年轻人，笔者想说：要学会抬头看路；不要总是低头刷题。

【回归课本】

针对条件 ① 的解答方法，参考了余弦定理的推导过程，参见下文：

从课本到高考：余弦定理的推导过程

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