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排列类算法问题大总结

2017-03-26  本文已影响546人  六尺帐篷
  • 全排列

全排列

给定一个数字列表,返回其所有可能的排列。

注意事项

你可以假设没有重复数字。
样例
给出一个列表[1,2,3],其全排列为:

[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]

分析

可以用递归和非递归解决

首先递归法,也是利用了回溯法和深度优先搜索。

我们考虑一个一个将数组元素加入到排列中,递归求解,就好像下面的解答树:

Paste_Image.png

添加的时候排除掉相同的元素即可,回溯法我们经常会设置一个已访问标识数组,来表示数组被访问过,但这里不用这样,因为如果list里面已经包含就说明已经访问过了,所以只要判断,跳过已有的元素即可。
再考虑递归的结束条件,当元素都添加足够就结束了,添加足够的意思就是,元素个数等于数组的长度。

class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: A list of permutations.
     */
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if(nums == null)
            return res;
        if(nums.length == 0)
        {   
            res.add(new ArrayList<Integer>());
            return res;
        }
            
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        dfs(res, list, nums);
        return res;
   }

    private void dfs(List<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] nums) {
        
        int n = nums.length;
        if(list.size() == n)
        {   
            res.add(new ArrayList<Integer>(list));
            return;
        }
        
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            if(list.contains(nums[i]))
                continue;
            list.add(nums[i]);
            dfs(res, list, nums);
            list.remove(list.size() - 1);
        }
    }
}

非递归实现
思路是这样的,就是高中的排列组合知识,运用插入法即可,假设有i个元素的排列组合,那么对于i+1个元素,可以考虑就是将i+1的元素插入到上述的排列的每一个位置即可。

class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: A list of permutations.
     */
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();  
        if ( nums == null)  
            return res;
        if( nums.length == 0)
        {    
            res.add(new ArrayList<Integer>());
            return res;
        }
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(nums[0]);
        res.add(new ArrayList<Integer>(list));
        
        for(int i=1;i<nums.length;i++) {
            int size1 = res.size();
            for(int j=0;j<size1;j++) {
                int size2 = res.get(0).size();
                for(int k=0;k<=size2;k++) {
                    ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<>(res.get(0));
                    temp.add(k,nums[i]);
                    res.add(temp);
                }
                res.remove(0);
            }
        }
        return res;
   }
}

带重复元素的全排列

给出一个具有重复数字的列表,找出列表所有不同的排列。

样例
给出列表 [1,2,2],不同的排列有:

Paste_Image.png

代码

class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: A list of unique permutations.
     */
    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        
        ArrayList<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        
        if(nums == null)
            return null;
        
        if(nums.length == 0)
        {   
            res.add(new ArrayList<Integer>());
            return res;
        }
        
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        
        //先将数组排序,这样相同元素将会出现在一起
        Arrays.sort(nums);
        
        int n = nums.length;
        int[] visited = new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++)
            visited[i] = 0;//0标识未访问
        
        helper(res, list, visited, nums);
        return res;
    }

    private void helper(ArrayList<List<Integer>> res, ArrayList<Integer> list, int[] visited, int[] nums) {
        
        if(nums.length == list.size()) {
            res.add( new ArrayList<Integer>(list));
        }
        
        for(int i=0;i<nums.length;i++) {
            
            if(visited[i] == 1 || i!= 0 && (visited[i-1] == 0 && nums[i] == nums[i-1]))
                continue;
            /*
            上面的判断主要是为了去除重复元素影响。
            比如,给出一个排好序的数组,[1,2,2],那么第一个2和第二2如果在结果中互换位置,
            我们也认为是同一种方案,所以我们强制要求相同的数字,原来排在前面的,在结果
            当中也应该排在前面,这样就保证了唯一性。所以当前面的2还没有使用的时候,就
            不应该让后面的2使用。
            */
            list.add(nums[i]);
            visited[i] = 1;
            helper(res, list, visited, nums);
            list.remove(list.size()-1);
            visited[i] = 0;
            
        }
            
        
    }
}

下一个排列

给定一个若干整数的排列,给出按正数大小进行字典序从小到大排序后的下一个排列。

如果没有下一个排列,则输出字典序最小的序列。

样例
左边是原始排列,右边是对应的下一个排列。

1,2,3 → 1,3,2

3,2,1 → 1,2,3

1,1,5 → 1,5,1

分析

这道题让我们求下一个排列顺序,有题目中给的例子可以看出来,如果给定数组是降序,则说明是全排列的最后一种情况,则下一个排列就是最初始情况,可以参见之前的博客 Permutations 全排列。我们再来看下面一个例子,有如下的一个数组
1  2  7  4  3  1
下一个排列为:
1  3  1  2  4  7
那么是如何得到的呢,我们通过观察原数组可以发现,如果从末尾往前看,数字逐渐变大,到了2时才减小的,然后我们再从后往前找第一个比2大的数字,是3,那么我们交换2和3,再把此时3后面的所有数字转置一下即可,步骤如下:
1  2  7  4  3  1
1  2  7  4  3  1
1  3  7  4  2  1
1  3  1  2  4  7

所以我们要做的就是找到第一个比peak元素大的数字,交换,然后反转

public class Solution {
    /**
     * @param nums: an array of integers
     * @return: return nothing (void), do not return anything, modify nums in-place instead
     */
    public int[] nextPermutation(int[] nums) {
        int i = nums.length - 2;
        while (i >= 0 && nums[i + 1] <= nums[i]) {
            i--;
        }
        if (i >= 0) {
            int j = nums.length - 1;
            while (j >= 0 && nums[j] <= nums[i]) {
                j--;
            }
            swap(nums, i, j);
        }
        reverse(nums, i + 1);
        return nums;
    }

    private void reverse(int[] nums, int start) {
        int i = start, j = nums.length - 1;
        while (i < j) {
            swap(nums, i, j);
            i++;
            j--;
        }
    }

    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }
}

上一个排列

给定一个整数数组来表示排列,找出其上一个排列。

注意事项

排列中可能包含重复的整数

样例
给出排列[1,3,2,3],其上一个排列是[1,2,3,3]

给出排列[1,2,3,4],其上一个排列是[4,3,2,1]

分析

与求下一个排列是一样的方法,只是相应的操作变反即可

public class Solution {
    /**
     * @param nums: A list of integers
     * @return: A list of integers that's previous permuation
     */
    public void swapItem(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
        Integer tmp = nums.get(i);
        nums.set(i, nums.get(j));
        nums.set(j, tmp);
    }
    public void swapList(ArrayList<Integer> nums, int i, int j) {
        while ( i < j) {
            swapItem(nums, i, j);
            i ++; j --;
        }
    }
    public ArrayList<Integer> previousPermuation(ArrayList<Integer> nums) {
        int len = nums.size();
        if ( len <= 1)
            return nums;
        int i = len - 1;
        while ( i > 0 && nums.get(i) >= nums.get(i-1) )
            i --;
        swapList(nums, i, len - 1);     
        if ( i != 0) {
            int j = i;
            while ( nums.get(j) >= nums.get(i-1) ) j++;
            swapItem(nums, j, i-1);
        }
        
        return nums;
    }
}

第k个排列

给定 n 和 k,求123..n组成的排列中的第 k 个排列。

注意事项

1 ≤ n ≤ 9

样例
对于 n = 3, 所有的排列如下:

123
132
213
231
312
321
如果 k = 4, 第4个排列为,231.

分析

康托展开的公式:(不用记,看形势就行,下面会有例子)

X=an(n-1)!+an-1(n-2)!+...+ai(i-1)!+...+a21!+a1*0!

ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)

适用范围:没有重复元素的全排列

N个数的第k个排序,例子,1,2,3,4共有4!种排列,1234,1243,1324等等。按顺序应该是

1234

1243

1324

1342

1423

1432等等

可以通过STL中next_permutation(begin, end);来算下一个全排列,理论上你要算n个数的第k个排列只要调用k-1次next_permutation()就行,但是一般来说肯定会超时的,因为next_permutation的时间复杂度是O(n)(如果自己写出来next_permutation时间复杂度比n大就要注意了,其中一个容易疏忽的地方是最后排序可以用reverse而不是sort)。所以如果用这个的话时间复杂度是O(N^2)。

而用康托展开只要O(n)就行,下面来说说具体怎么做:

题目:找出第16个n = 5的序列(12345)

首先第十六个也就是要前面有15个数,要调用15次next_permutation函数。

根据第一行的那个全排列公式,15 / 4! = 0 …15 =》 有0个数比他小的数是1,所以第一位是1

拿走刚才的余数15,用15 / 3! = 2 …3 => 剩下的数里有两个数比他小的是4(1已经没了),所以第二位是4

拿走余数3, 用 3 / 2! = 1 …1 =》 剩下的数里有一个数比他小的是3,所以第三位是3

拿走余数1, 用 1/ 1! = 1 …0 => 剩下的数里有一个数比他小的是 5(只剩2和5了),所以第四位是5

所以排列是 1,4,3,5,2

class Solution {
    /**
      * @param n: n
      * @param k: the kth permutation
      * @return: return the k-th permutation
      */
    public String getPermutation(int n, int k) {
        
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        boolean[] used = new boolean[n];

        k = k - 1;
        int factor = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            factor *= i;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int index = k / factor;
            k = k % factor;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (used[j] == false) {
                    if (index == 0) {
                        used[j] = true;
                        sb.append((char) ('0' + j + 1));
                        break;
                    } else {
                        index--;
                    }
                }
            }
            if (i < n - 1) {
                factor = factor / (n - 1 - i);
            }
        }

        return sb.toString();
        
    }
}

排列序号

给出一个不含重复数字的排列,求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列的编号。其中,编号从1开始。

样例
例如,排列 [1,2,4] 是第 1 个排列。

分析

这道题是求第k个排列的反向思维

已知是n = 5,求14352是它的第几个序列?(同一道题)

用刚才的那道题的反向思维:

第一位是1,有0个数小于1,即0* 4!

第二位是4,有2个数小于4,即2* 3!

第三位是3,有1个数小于3,即1* 2!

第四位是5,有1个数小于5,即1* 1!

第五位是2,不过不用算,因为肯定是0

所以14352是 n = 5的第 0 + 12 + 2 + 1 + 0 = 15 + 1(求的是第几个,所以要加一) = 16

第16个,跟刚才那道题一样,证明对了

public class Solution {
    /**
     * @param A an integer array
     * @return a long integer
     */
    public long permutationIndex(int[] A) {
        // Write your code here
        HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
        
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            if (hash.containsKey(A[i]))
                hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
            else {
                hash.put(A[i], 1);
            }
        }
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
                if (A[j] < A[i]) {
                    hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
                    ans += generateNum(hash);
                    hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
                    
                }
            
            }
                hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
        }
        
        return ans+1;
    }
    
    long fac(int numerator) {
            
        long now = 1;
        for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
            now *= (long) i;
        }
        return now;
    }

    long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
        long denominator = 1;
        int sum = 0;
        for (int val : hash.values()) {
            if(val == 0 )   
                continue;
            denominator *= fac(val);
            sum += val;
        }
        if(sum==0) {
            return sum;
        }
        return fac(sum) / denominator;
    }
}

排列序号II

给出一个可能包含重复数字的排列,求这些数字的所有排列按字典序排序后该排列在其中的编号。编号从1开始。

样例
给出排列[1, 4, 2, 2],其编号为3。

分析

这道题基于查找不存在重复元素中排列序号的基础之上,

即P(n) = P(n-1)+C(n-1)

C(n-1) = (首元素为小于当前元素,之后的全排列值)
P(1) = 1;

而不存在重复元素的全排列值C(n-1) = (n-1)!*k(k为首元素之后小于当前元素的个数)

在存在重复元素的排列中首先全排列的值的求法变为:

C(n-1) = (n-1)!/(A1!A2!···Aj!)k(其中Ai 为重复元素的个数,k为小于首元素前不重复的个数)

/**
     * @param A an integer array
     * @return a long integer
     */
    long fac(int numerator) {
        long now = 1;
        for (int i = 1; i <= numerator; i++) {
            now *= (long) i;
        }
        return now;
    }   
    long generateNum(HashMap<Integer, Integer> hash) {
        long denominator = 1;
        int sum = 0;
        for (int val : hash.values()) {
            if(val == 0 )    
                continue;       
            denominator *= fac(val);
            sum += val; 
        }       
        if(sum==0) {
            return sum; 
        }       
        return fac(sum) / denominator;
    }   

    public long permutationIndexII(int[] A) {
        HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();

        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            if (hash.containsKey(A[i]))
                hash.put(A[i], hash.get(A[i]) + 1);
            else {      
                hash.put(A[i], 1);
            }           
        }       
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            HashMap<Integer, Integer> flag = new HashMap<Integer, Integer>(); 

            for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
                if (A[j] < A[i] && !flag.containsKey(A[j])) {
                    flag.put(A[j], 1);
                    hash.put(A[j], hash.get(A[j])-1);
                    ans += generateNum(hash);
                    hash.put(A[j], hash.get(A[j])+1);
                }

            }
            hash.put(A[i], hash.get(A[i])-1);
        }
        return ans + 1;
    }
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