求解一个包含三角函数的极值问题

2023-04-03 本文已影响0人输配电世界

已知三角形ABC，向量 $\vec{AC}+3\cdot\vec{BC}$ 与向量 $\vec{AB}$ 垂直，
求 $\frac{\sin C}{\cos {(C+2B)}}$ 的最小值。

解：三角形ABC如上图
依题意， $MA\perp AB$ , $MC=3CB$ ,
取N为MB中点，则 $MN=BN$ ，且 $BN=2CB$ ，即 $NC=BC$
$\because \triangle ABC$ 是直角三角形，
$\therefore AN=MN=NB$

$\cos (C+2B)=\cos(A+B+C+B-A)=\cos(\pi+B-A)=-\cos(B-A)$
$\because AN=NB$
$\therefore \angle NAB=\angle B$
$\therefore \angle NAC=\angle B -\angle A$

在 $\triangle ACN$ 中，根据正弦定理，
$\frac{AN}{\sin\angle ACN}=\frac{NC}{\sin\angle NAC}$

因为 $\triangle MAB$ 是直角三角形，且N是MB的重点
$\therefore AN=NB$ ，由 $BN=2CB$
$\therefore AN=2NC$
$\therefore\frac{2NC}{\sin\angle ACN}=\frac{NC}{\sin\angle NAC}$

即，
$\frac{\sin\angle ACN}{\sin\angle NAC}=2$
$\because\angle ACN=\pi-\angle ACB$ ， $\therefore\frac{\sin\angle ACB}{\sin\angle NAC}=2$

即，
$\sin C=2\sin\angle NAC$
$\therefore\frac{\sin C}{\cos {(C+2B)}}=\frac{2\sin\angle NAC}{-\cos\angle NAC}=-2\tan\angle NAC$

也就是题目中的最小值问题转化为 $\angle NAC$ 的正切最大值。

由 $\angle NAC=\angle B-\angle A$
使用正切函数的和差化积，再根据基本不等式，可以解得
$\tan\angle NAC\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，
因此 $\frac{\sin C}{\cos {(C+2B)}}$ 的最小值为 $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

求解一个包含三角函数的极值问题

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