高中数学纲目

三棱柱：2013年理数全国卷B题18

2021-11-14 本文已影响0人易水樵

三棱柱：2013年理数全国卷B题18（12分）

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点， $AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.$

（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;

（Ⅱ）求二面角 $D-A_1C-E$ 的正弦值.

2013年理数全国卷B

【解答问题I】

连接 $AC_1$ , 记 $AC_1,A_1C$ 的交点为 $Q$ .

连接 $DQ$ .

∵ $ABC-A_1B_1C_1$ 是直三棱柱,

∴ $A_1ACC_1$ 是矩形，∴ $Q$ 是 $A_1C,\,AC_1$ 的中点；

∵ $Q$ 是 $AC_1$ 中点， $D$ 是 $AB$ 中点，

∴ $DQ$ 是 $\triangle ABC_1$ 的中位线， $DQ // BC_1$

∵ $DQ // BC_1$ , $DQ \subset$ 平面 $A_1CD$ ,

∴ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ：准备工作】

∵ $ABC-A_1B_1C_1$ 是直三棱柱 ,

$AA_1=AC=CB= \dfrac {\sqrt{2}} {2}AB$ ,

∴ $A_1ACC_1$ 是正方形， $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；

令 $BC=2$ ，则 $AB=2\sqrt{2}$

以点 $C$ 为原点，并以 $CA,CB,CC_1$ 为 $x,y,z$ 轴，建立坐标系. 则各点坐标如下：

$A(2,0,0),\;B(0,2,0),\;C(0,0,0),\;$

$D(1,1,0)$

$A_1(2,0,2),\;B_1(0,2,2),\;C_1(0,0,2),\;$

$\overrightarrow{CA_1}=(2,0,2)$

$\overrightarrow{CD}=(1,1,0)$

$\overrightarrow{CE}=(0,2,1)$

【解答问题Ⅱ：算法一】

设平面 $CA_1D$ 的法向量为 $\overrightarrow{m}=(m_x,m_y,m_z)$ ，则

$2m_x+2m_z=0$

$m_x+m_y=0$

$\overrightarrow{m} = (1,-1,-1)$

设平面 $CA_1E$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=(n_x,n_y,n_z)$ ，则

$2n_x+2n_z=0$

$2n_y+n_z=0$

$\overrightarrow{n} = (2,1,-2)$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{3}}$

$\sin <\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}> = \dfrac {\sqrt{6}} {3}$

【解答问题Ⅱ：算法二】

平面 $CA_1D$ 的法向量 $\overrightarrow{m}= \overrightarrow{CA_1} \times \overrightarrow{CD}=(-2,2,2)$

平面 $CA_1E$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{CA_1} \times \overrightarrow{CE}=(-4,-2,4)$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{3}}$

$\sin <\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}> = \dfrac {\sqrt{6}} {3}$

结论：求二面角 $D-A_1C-E$ 的正弦值等于 $\dfrac { \sqrt{6} } {3}$ .

【提炼与提高】

本题第1问与文科卷相同，求解的关键是中位线定理.

本题第2问，用几何方法比较难搞；适合用向量方法解决。

很多学生在使用向量方法解答立体几何的过程中会遇到一个苦恼：很容易出现计算错误，在考试状态下要想自己查出这类错误是比较困难的. 笔者在此推荐一种新的算法：用向量的外积（又称叉乘）运算来求法向量。两种算法是等效的。在考试过程中，可以分别用两种方法计算，再比较计算结果.

一般来讲，比起单纯地检查计算过程，用一种不同的算法来进行验算，效率会更高.

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