等差数列与等比数列

今天我要探讨的内容是等差数列与等比数列。相信这种东西在奥数书中真的非常的多。因为这比较难，而且比较有意思，一般都会吸引做奥数的人去做，首先就要先来定义一下什么是等差数列，什么是等比数列。

等差数列可以举例为:1/2+1/4+1/6+1/8=？

等差数列的规律是，两个相邻的加数中，前面加数的分母比后面加数的分母少一个相同的数(我举的例子中是少二)。

如何用一个代数式去代表这个数列中的任何一个数呢？可以假设要代表的是第n个数。第二个加数的分母比第一个加数的分母加了二，第三个加数的分母比第一个加数的分母加了两个二。第四个加数的分母比第一个加数的分母加了三个二。也就是说，第n个数应该是比第一个数加了n减一个二，说明第n个数是1/2+(n-1)Ⅹ2。可以用任意一个数来代替n，比如三。三减一得二，二乘二得四，四加二得六，最终结果是1/6。可见这个公式是成立的。

那么如果这个等差数列是1/3+1/5+1/7+1/9呢？假设要找第n个数，第二个加数的分母比第一个加数的分母多加了二，第三个加数的分母比第一个加数的分母多加了四，那么第n个数就应该比第一个数多加了n减一个二，那么结果也就是1/3+(n-1)x2，假设n为五，n减一得四，四乘二得八，人加三得十一。那么第五个数是否是1/11呢？答案是肯定的。

那应该如何计算等差数列呢？就以2+4+6+8+10+12为例，2+12=4+10=6+8，也就是(2+12)ⅹ12÷2÷2。这是等差数列的计算方法。

接下来定义什么是等比数列。等比数列也就是两个相邻的加数，后面加数的分母与前面加数的分母的比是一样的。比如1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，两个相邻的加数，后面加数的分母比前面加数的分母为2:1。

解等比数列有三种方式，一、1/2+1/4=1-1/4+1/8=1-1/8，1-1/8+1/16=1-1/16，1-1/16+1/32=1-1/32，1-1/32+1/64=1-1/64，1-1/64+1/128=1-1/128，最终结果是1-1/128。

二、可以在最末尾再加上一个1/128，再减去一个1/128，先不管减去的，1/128+1/128=1/64，1/64+1/64=1/32，1/32+1/32=1/16，1/16+1/16=1/8，1/8+1/8=1/4，1/4+1/4=1/2，1/2+1/2等于一，一再减去最开始加上的1/128等于127/128。

三、S1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，

2S1=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64，

2S1-S1=(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64)-(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)

S1=1-1/128

S1=127/128.

这种方法的合理性是2S1的第n加一个数。可以消掉S1的第n个数，最后会剩下的是2S1的最开始的数字和S1最末尾的数字。

那么如果两个相邻的加数，后面的加数比前面的加数等于3:1呢？那就把原来算式翻三倍，变成3S1，减去S1后再除以二。如果是4:1也是同理。

这是等比数列的计算方法。

这就是我今天要讲的话题。