线代（三）：矩阵的初等变换与线性方程组

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矩阵的初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等变换：

对换两行： $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$ （或者列）
以数 $k$ 乘某一行（列）中的所有元： $r_{i}\times k$
把某一行（列）所有元的 $k$ 倍加到另一行（列）对应的元上去： $r_{i}+kr_{j}$

一般而言，常用的是初等行变换
如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A～B$ 。当然还有行等价： $A\overset{r}{\sim}B$ 和列等价： $A\overset{c}{\sim}B$ 。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：
(i)反身性 $A～A$
(ii)对称性　若 $A～B$ ，则 $B～A$
(iii)传递性　若 $A～B$ ， $B～C$ ，则 $A～C$

若非零矩阵若满足(i)非零行在零行的上面(ii)非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。
若 $A$ 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为1;（ii）首非零元所在的列的其他元均为0，则称 $A$ 为行最简形矩阵。
对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。

的左上角是一个单位矩阵，其余元全为0:

$A$ 与 $B$ 为 $m×n$ 矩阵，那么
（i） $A\overset{r}{\sim}B$ 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 $P$ ，使 $PA =B$ ；
（ii） $A\overset{c}{\sim}B$ 的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 $Q$ ，使 $AQ =B$ ；
（iii） $A～B$ 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 $P$ 及 n 阶可逆矩阵 $Q$ ，使
$PAQ =B$ .

由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

把单位矩阵中第i，j两行对换（或第i，j两列对换），得初等矩阵： $E(i,j)$
以数 $k≠0$ 乘单位矩阵的第i行（或第i列），得初等矩阵: $E(i(k))$
以k乘单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上，得初等矩阵: $E(ij(k))$

设 $A$ 是一个 $m×n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$
$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))$
$E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$

注：方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_{1}，P_{2}，… ,P_{l}$ ，使 $A =P_{1} P_{2}…P_{l}$ 。 $\Rightarrow$ 方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A\overset{r}{\sim}B$ .

矩阵的秩

在 $m×n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列 $（k≤ m，k≤n）$ ，位于这些行列交叉处的 $k^{2}$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式.
$m×n$ 矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式共有 $C_{m}^{k}\cdot C_{n}^{k}$ 个.

设 $A\overset{r}{\sim}B$ ，则 $A$ 与 $B$ 中非零子式的最高阶数相等.

设在矩阵 $A$ 中有一个不等于0 的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r+ 1$ 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 。并规定零矩阵的秩等于0。

可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵

矩阵的秩的性质
$0\leqslant R(A_{m\times n})\leqslant min\left \{m,n \right \}$
$R(A^{T})=R(A)$

若 $A \sim B$ ,则 $R(A)=R(B)$
若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$
$max \left \{R(A),R(B) \right \}≤R(A，B)≤R(A)+R(B) \Rightarrow R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1$ （b为列向量）
$R(A+B)≤ R(A) +R(B)$
$R(AB)≤ min\left \{R(A),R(B) \right \}$
若 $A_{m \times n}B_{n \times l}=O$ ,则 $R(A)+R(B)≤ n$