写这篇文章的目的是因为自己是半路出家学的信号处理，之前用的更多的是幅值谱分析，猛然接触功率谱分析的概念却发现能系统的说明白功率谱分析的文章很少，所以自己总结了一下，若有不当之处，欢迎指正。欢迎转载，转载请注明原始出处

一、什么是功率谱分析

对刚接触功率谱分析的人来说，会自然的产生这样的疑问：

1）什么是功率谱？功率谱密度又是什么？怎么还有个能量谱？

2）为什么要用功率谱？

3）功率谱/能量谱和频谱有什么关联吗？

4）自功率谱和互功率谱又是什么东西？

下面将逐个解释这些问题。

1、基本概念解析

2、为什么要用功率谱估计

要点：

为什么用功率谱而不用幅值谱：

随机信号——对于随机信号描述平均功率才有意义——如何描述平均功率

1）FFT和PSD都可以表征频谱特性，帮助我们找出峰值的位置，那么有了FFT为什么还要提出PSD？[4, 6]

回答这个问题之前我们要先了解一下信号的分类：

信号按照是否可以用确定的时间函数/图表来表达可以分为：

确定信号和随机信号

同时按照能量和功率是否有限又可以分为：

能量信号（能量有限，平均功率为0）、功率信号（能量无限，平均功率有限）和非功率非能量信号

如下图所示：

若信号的总能量是有限的，可以用能量谱或幅值谱来考察。能量信号的能量是一个非无穷的正值，这时候就可以把能量作为考察能量信号的有效量纲，而且由于能量信号的能量有限，能量信号的平均功率肯定是无限接近于0的，这时候从平均功率的角度去考察能量信号就没有意义。

若信号的总能量是无限的，但单位时间内的能量是有限的，则用功率谱密度函数考察。功率信号的能量是无穷的，从能量角度去考察就没有意义了，但是功率信号的平均功率肯定是个非零值，这时候选择平均功率作为考察的量纲就是合理的。(信号做功消耗能量，平均功率是信号所做的功与无穷时间的比值。)

一般地，若信号的总能量是有限的，用能量谱密度函数考察；若信号的总能量是无限的，但单位时间内的能量是有限的：比如周期信号，用功率谱密度函数考察[4]。

一般我们将对能量信号的分析称为能量谱分析，对功率信号的分析称为功率谱分析

这里我们来正式回答问题，为什么要引入能量信号和功率信号的概念，为什么不用幅值谱：

对于随机信号而言，它的频谱是不存在的，也就是说不能用频谱来表示这个信号，所以这是一个典型的功率信号表示问题（因为随机信号在时间上是无限的，在样本上也是无穷多，因此随机信号的能量是无限的，随机信号一定是功率信号）。

（可以这么理解：如果取截断来看，随机信号的频谱是一直在变化的，所以对于一个无限长的随机信号而言，它没有可以表示的频谱。以上的话说的正式一点，就是：

功率信号不满足付里叶变换的绝对可积的条件（即狄里赫利条件，保证积分是收敛的，而不是无穷大），因此其傅里叶变换是不存在的。

）

那么对于周期信号呢：

周期信号有的是能量信号，有的是功率信号，对于周期性信号中的功率信号，同样不能使用频谱分析。

所以根据狄里赫利条件，能量信号可以直接进行傅里叶变换，而功率信号不行。对于无法做傅里叶变换的信号，只能走一步弯路，先求自相关，再做傅里叶变换。但是物理意义上就是功率谱了。

一个信号有三个组成部分：幅值、相位和频率成分。对于随机信号而言，这三个组成部分都是随机的，当然它的幅值是围绕平均值在交变，包含所有的频率成分，相位完全杂乱无序。任一时刻与下一时刻之间没有任何关联，所以，不能用确定的数学函数来表征，只能从统计学角度来分析处理。（如果硬要截断后做fft，也可以，只不过没有确定的意义）

下面，将说明为什么功率谱分析是统计学意义上的对信号的表征。

2）随机信号的统计方法

随机信号与正态分布的关系[3]

一个信号有三个组成部分：幅值、相位和频率成分。对于随机信号而言，这三个组成部分都是随机的，当然它的幅值是围绕平均值在交变，包含所有的频率成分，相位完全杂乱无序。任一时刻与下一时刻之间没有任何关联，所以，不能用确定的数学函数来表征，只能从统计学角度来分析处理。

那么这个统计学角度指的是什么呢：

在一定条件下，各种随意形状概率分布生成的随机变量，它们加在一起的总效应，是符合正态分布的（中心极限定理）。

（上式也可以这么理解：均值表示信号中直流分量的大小，方差表示信号交流分量的平均功率，均方差表示信号的平均功率，所以：信号的平均功率= 信号的直流功率+ 信号的交流功率）

我们说到，平稳随机信号是趋于正态分布的（所谓的平稳是指分布参数不随着时间的变化而变化），决定正态分布的两个参数：

平均值u：基本为0，不为0时，一般也会移除直流量使其为0

方差：当均值为0时，那么唯一能够表征随机信号的就是方差

       而此时，均方差和方差是相等的，又因为均方差表示的信号的平均能量，所以对于平稳随机信号而言，描述平均功率才有意义。

（对于非平稳信号，一般的处理方法是找一个时间窗，认为它在这个时间窗内是平稳的）

那么，现在的问题就在于：如何描述平均功率呢?我们知道平均功率的分布就是功率谱密度，那么问题便等价于：如何计算功率谱？