数学分析理论基础9：函数极限的性质

2019-01-18 本文已影响12人溺于恐

函数极限的性质

唯一性

定理：若极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在,则此极限唯一

证明：

$设A,B都是f当x\to x_0时的极限$

$则\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1,\delta_2\gt 0使得$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta_1时有|f(x)-A|\lt \varepsilon\qquad(1)$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta_2时有|f(x)-B|\lt \varepsilon\qquad (2)$

$取\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}则$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta时(1)(2)同时成立$

$\therefore |A-B|=|(f(x)-A)-(f(x)-B)|$

$\le |f(x)-A|+|f(x)-B|\lt 2\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可得A=B$

$即极限是唯一的\qquad \mathcal{Q.E.D}$

局部有界性

定理：设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在,则f在 $x_0$ 的某空心邻域 $U^\circ(x_0)$ 内有界

证明：

$设\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

$取\varepsilon=1,\exists\delta\gt 0,使得$

$\forall x\in U^\circ (x_0;\delta)有$

$|f(x)-A|\lt 1\Rightarrow |f(x)|\lt |A|+1$

$\therefore f在U^\circ (x_0;\delta)内有界\qquad \mathcal{Q.E.D}$

局部保号性

定理：若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\gt 0(或\lt 0)$ ,则 $\forall 正数r\lt A(或r\lt -A)$ , $\exists U^\circ(x_0)$ ,使得 $\forall x\in U^\circ(x_0)$ 有 $f(x)\gt r\gt 0(或f(x)\lt -r\lt 0)$

证明：

$设A\gt 0$

$\forall r\in (0,A),取\varepsilon=A-r,则$

$\exists \delta\gt 0使得\forall x\in U^\circ(x_0;\delta)有$

$f(x)\gt A-\varepsilon=r$

$类似可证A\lt 0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：应用局部保号性时常取 $r={A\over 2}$

保不等式性

定理：设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 与 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$ 都存在,且在某邻域 $U^\circ(x_0;\delta')$ 内有 $f(x)\le g(x)$ ,则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\le \lim\limits_{x\to x_0}g(x)$

证明：

$设\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta_1,\delta_2,使得$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta_1时有A-\varepsilon\lt f(x)\qquad(1)$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta_2时有g(x)\lt B+\varepsilon\qquad(2)$

$取\delta=min\{\delta',\delta_1,\delta_2\}$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta时f(x)\le g(x)与(1)(2)同时成立$

$\therefore A-\varepsilon\lt f(x)\le g(x)\lt B+\varepsilon$

$\therefore A\lt B+2\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可知A\le B\qquad \mathcal{Q.E.D}$

迫敛性

定理：设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A$ ,且在某 $U^\circ (x_0;\delta')$ 内有 $f(x)\le h(x)\le g(x)$ ,则 $\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A$