人生几何？高中数学纲目

数形结合效率高：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

2021-08-29 本文已影响0人易水樵

椭圆：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直. 直线 $MF_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N.$

（I）若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率;

（Ⅱ）若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $|MN|=5|F_1N|$ ，求 $a，b$ .

【解答问题I】

∵ $MF_2 \perp F_1F_2$ 且 $M F_2 : F_1 F_2=3 : 4$

∴ $M F_2 : F_1 F_2 : MF_1 =3 : 4 : 5$

∴ $2a : 2c = 8:4$

∴ $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$ .

【解答问题Ⅱ】

∵ $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直， $F_2$ 是右焦点，∴ 点 $M$ 的坐标为 $(c,\dfrac{b^2}{a})$ .

∵ 直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，∴ $\dfrac{b^2}{a}=4$

作 $ND \perp x$ 轴， $D$ 点为垂足. 显然， $\triangle F_1DN \sim \triangle F_1F_2M$

∵ $|MN|=5|F_1N|$ , ∴ $|MF_1|=4|F_1N|$ , ∴ $|MF_2|=4 |ND|$ .

∴ 点 $N$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2}c, -1)$

代入椭圆方程可得： $\dfrac{9}{4}b^2c^2+a^2-a^2b^2=0$

又∵ $c^2=a^2-b^2$ , $a \gt b \gt 0$ , $b^2=4a$ ,

∴ $a=7,b^2=4a=28, b=2\sqrt{7}$

椭圆的方程为： $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{28} = 1$

【提炼与提高】

『数形结合，几何开路』

概括地说，解析几何就是用代数方法研究几何。数形结合是解析几何最基本最常用的思路方法。

在目前的教学实践中，往往对方程的训练强调较多，而对几何分析强调不够。本题有助于纠正这种不良倾向。

『椭圆相关的几个特殊点』

椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 有一些关联的特殊点，熟悉这些特殊点可以提高解题效率。

左右焦点： $(\pm c,0)$

左右顶点： $(\pm a,0)$

上下顶点： $(0,\pm b)$

横坐标与焦点相同的4个点： $(\pm c, \pm \dfrac{b^2}{a})$

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