全面解析向量

首先先给向量来个教科书的定义.

在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

从定义中可以看出，向量的两个重要属性是长度（也称为大小或模 ）和方向。

知道定义后，我们再理解下向量在3D空间中的应用场景

在粒子系统中，通常用向量来表示粒子的速度和加速度。光的走向，多边形的朝向以及3D场景中的摄像机观察方向等许多地方都会用到向量。

下面来详细了解下向量的基础知识

向量相等：向量的属性中不包含位置信息，所以两个向量只要长度和方向相同，无论七点是否相同，我们就认为向量相等，很容易理解，这样的两个向量也彼此平行。

向量在坐标系中的如何表示

因为向量的的位置并不影响其属性，所以我们可以将所有彼此平行的向量进行平移，使其起点与坐标原点重合。当某一向量的起始端与坐标原点重合时，我们撑改箱量处于标准位置。这样，我们就可以用向量的重点坐标来描述一个处于标准位置的向量。用于描述向量的坐标称为分量(component)。

因为处于标准位置的向量都是用重点坐标来描述，这样当我们描述某一点时，很容易将点和向量混淆，为了突出二者的差别，我们来区分想点和向量的定义，点只描述坐标系中的一个位置，而向量描述了长度和方向

向量的长度

在几何学中，向量的模就是邮箱线段的长度，根据向量的各分量，我们可以通过代数方法计算该向量的大小，公式如下：

空间向量(x,y,z)，其中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是：

平面向量（x，y），模长是：

向量的规范化(normalizing)

向量的规范化就是使向量的模变为1，即变为单位向量。我们通过将向量的每个分量都除以向量的模来实现向量的规范化

向量坐标都除于向量的长度

{1,2,3},长度是√1²+2²+3²=√14

标准化之后是

{1/√14,2/√14,3/√14}

新向量的长度恰好为1

标准化完毕

向量加法

向量的加法定义为两个向量对应的分量分别相加。注意，只有维数相等的两个向量才能进行加法运顺。

向量减法

向量的加法也是在两个向量的对应分量上进行的。同样，参与运算的向量维数必须一致。

向量加法几何解释

向量减法返回一个自V的末端指向U的末端的向量，如果我们把U和V的分量理解为点的坐标，便可使用向量减法求得自一点指向另一点的向量。

数乘

标量可以与向量相乘，该运算可以对向量进行缩放，该运算不改变向量的方向，除非该向量与负数相乘，这是向量的方向与原来的方向相反。

点积

设二维空间内有两个向量 向量a=(x1,y1) 向量b=(x2,y2).定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

向量a乘以向量b 等于x1x2+y1y2.

几何定义

AB=|A||B|cos

其运算结果是一个常量。

该定义只对二维和三维空间有效。

上述公式并不具有明显的集合意义。但由预先定理可以发现，两个向量的点积等于二者夹角的余弦再乘以两个向量的模的乘积。由此可以得知，如果u和v都是单位向量，则u乘以v就等于u，v夹角的余弦。

下面是点积的一些有用的性质：

向量这部分真的不少，时间不早了，今天就写到这里。