多源点最短路径-弗洛伊德算法(Floyd)

求所有顶点到所有顶点的最短路径，而迪杰斯特拉是求单源点到所有顶点的最短路径。

几个用到的变量和数组的含义:

• 变量k：中转顶点坐标
• 数组P：存放顶点之间的中转结点的数组，比如：

P[1][4] = 2;//顶点1到顶点4途径顶点2
P[2][4] = 3;//顶点2到顶点4又途径顶点3
P[3][4] = 4;//顶点3到顶点4经过顶点4，即表明3->4之间无中转顶点了。

• 从而得：

  当P[v][k] == k的时候，即走到了路径的最后。

• 数组D：存放了顶点到顶点之间的最小路径和。

代码实现：

typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]
typedef int PathMatrix[MAXVEX][MAXVEX]
void Floyd(MGraph G, PathMatrix *P, ShortPathTable *D)
{
    int v, w, k; /*k为中转顶点的下标*/
    for(v = 0; v < G.numVertexes; v++)
    {
        for(w = 0; w < G.numVertexes; w++)
        {
            (*D)[v][w] = G.arc[v][w];
            (*P)[v][w] = w; /*P[v][w] == w 的时候表明,v -> w 之间没有中转顶点了，初始化的时候肯定都是没有中转顶点的，所以都置为w*/
        }
    }
    /*以上完成了初始化工作*/
    /*注意三层for循环的次序，k作为中转顶点在第二层*/
    for(v = 0; v < G.numVertexes; v++)
    {
        for(k = 0; k < G.numVertexes; k++)
        {
            for(w = 0; w < G.numVertexes; w++)
            {
                /*如果顶点v到w的路径和 大于 顶点v到中转顶点k的路径和 + 顶点k到顶点w的路径和
                  就更新为小者，同时要更新v到w之间经过 [顶点v到顶点k之间的中转顶点]
                */
                if((*D)[v][w] > ((*D)[v][k] + (*D)[k][w]))
                {
                    (*D)[v][w] = ((*D)[v][k] + (*D)[k][w]);
                    (*P)[v][w] = (*P)[v][k];/*路径设置为经过下标为k的顶点*/
                }
            }
        }
    }



    /*根据P数组打印路径的算法*/
    for(v = 0; v < G.numVertexes; v++)
    {
        for(w = v+1; w < G.numVertexes; w++)
        {
            printf("v%d-v%d weight: %d", v, w, (*D)[v][w]);
            k = (*P)[v][w]; /*获得第一个路径顶点下标*/
            printf(" path: %d": v);/*打印源点*/
            while(k != w)
            {
                printf("-> %d", k);
                k = (*P)[k][w];
            }
        }
        printf(" -> %d\n", w);/*打印终点*/
    }
}