椭圆

2019-03-06 本文已影响0人椰子数学

一、椭圆的定义

1、椭圆的定义

我们把平面内与两个定 $F_1$ , $F_2$ 的距离的和等于常数（大于| $F_1F_2$ |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距。

2、椭圆定义的集合描述

设点M是椭圆上的任意一点，点 $F_1$ , $F_2$ 是椭圆的焦点，则由椭圆的定义知，椭圆可以视为懂点M的集合P={M/| $MF_1$ |+| $MF_2$ |=常数，常数＞| $F_1F_2$ |＞0}

温馨提示

定义中限制条件“常数大于| $F_1F_2$ |”的原因：

当动点M满足| $MF_1$ |+| $MF_2$ |=常数=| $F_1F_2$ |时，动点M的轨迹以 $F_1$ , $F_2$ 为两端点的线段
当动点M满足| $MF_1$ |+| $MF_2$ |=常数＜| $F_1F_2$ |时，动点M的轨迹不存在

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程

条件：| $PF_1$ |+| $PF_2$ |=2a（2a＞2c＞0）
标准方程： $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1（焦点x轴,（-c，0），（c，0））
标准方程： $y^2 \over a^2$ + $x^2 \over b^2$ =1（焦点y轴，（0，c），（0，-c））
a、b、c的关系式： $a^2-b^2$ = $c^2$

温馨提示

椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”+“平方”，右边是1，切莫记为0
椭圆的标准方程中， $x^2$ 与 $y^2$ 对应的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”
方程 $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1与 $y^2 \over a^2$ + $x^2 \over b^2$ =1表示的椭圆大小、形状都相同，只是焦点的位置不同（图形位置不同）

2、椭圆的一般方程

当ABC≠0时，方程A $x^2$ +B $y^2$ =C可以变形为 $x^2 \over {C \over A}$ + $y^2 \over {C \over B}$ =1,由此可以看出方程A $x^2$ +B $y^2$ =C表示椭圆的虫咬条件是ABC≠0，且A、B、C同号，A≠B，此时称方程A $x^2$ +B $y^2$ =C为椭圆的一般方程。

求椭圆方程时可以将方程设为A $x^2$ +B $y^2$ =1（A＞0，B＞0，A≠B），这样可以避免对焦点的讨论。

3、共焦点的椭圆系方程

与椭圆 $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为 $x^2 \over a^2+λ$ + $y^2 \over b^2+λ$ =1（a＞b＞0，λ＞- $b^2$ ）
与椭圆 $y^2 \over a^2$ + $x^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为 $y^2 \over a^2+λ$ + $x^2 \over b^2+λ$ =1（a＞b＞0，λ＞- $b^2$ ）

4、相同离心率的椭圆系方程

与椭圆 $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）有相同离心率的椭圆方程为 $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ = $k_1$ （ $k_1$ ＞0，焦点在x轴上）或 $y^2 \over a^2$ + $x^2 \over b^2$ = $k_2$ （ $k_2$ ＞0，焦点在y轴上）

三、椭圆的几何性质

1、焦点在x轴上

标准方程： $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）
范围：|x|≤ a，|y|≤ b
对称性：关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标：（a,0），（-a,0），（0,b），（0,-b）
焦点坐标：（c，0），（-c，0）
半轴长：长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
a、b、c关系： $a^2-b^2$ = $c^2$
离心率：e= $c \over a$

2、焦点在y轴上

标准方程： $y^2 \over a^2$ + $x^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）
范围：|x|≤ b，|y|≤ a
对称性：关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标：（b,0），（-b,0），（0,a），（0,-a）
焦点坐标：（0，c），（0，-c）
半轴长：长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
a、b、c关系： $a^2-b^2$ = $c^2$
离心率：e= $c \over a$

四、椭圆的离心率

椭圆的焦距与长轴长的比 $c \over a$ 叫做椭圆的离心率，用e表示，即e= $c \over a$
离心率的取值范围：0＜e＜1
离心率对椭圆的形状的影响：e越接近于1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近于0，c就越接近于0，从而b就越大，椭圆就越圆
e与a、b的关系：e= $c \over a$ = $\sqrt {{a^2-b^2 \over a^2}}$ = $\sqrt {1-{b^2 \over a^2}}$

知识拓展

若 $F_1$ 、 $F_2$ 是椭圆的焦点，P是椭圆上与 $F_1$ 、 $F_2$ 不共线的一点，在△ $F_1$ P $F_2$ 中，设|P $F_1$ |= $r_1$ ，|P $F_2$ |= $r_2$ ,∠P $F_1F_2$ =α，∠P $F_2F_1$ =β，∠ $F_2PF_1$ =θ，则 $r_1 \over sinβ$ = $r_2 \over sinα$ = ${2c}\over sin θ$ ，对于椭圆考虑到 $r_1$ + $r_2$ =2a,则 $r_+r_2 \over sinα+sinβ$ = ${2c}\over sin θ$ ，所以 $sin θ \over sinα+sinβ$ = $c\over a$ ,由于sinθ = sin(α+β），所以e= $sin{(α+β)}\over sinα+sinβ$

五、通径

1、通径

过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆截得的线段称为椭圆的通径，其长为 $2b^2 \over a$

2、两个最值

椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点
椭圆上到焦点距离最大和最小的点事长轴的两个端点，距离最大的值为a+c，距离最小的值为a-c

六、关于椭圆的几个重要结论

弦长公式

直线被椭圆截得的弦长公式：设直线与椭圆交于A（ $x_1,y_1$ ），B（ $x_2,y_2$ ）两点，则
|AB|= $\sqrt {1+k^2}$ . $\sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
|AB|= $\sqrt {1 + {1 \over k^2}}$ . $\sqrt {(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}$

焦点三角形

P为椭圆 $x^2 \over a^2$ + $y^2 \over b^2$ =1（a＞b＞0）上异于长轴端点的点， $F_1$ , $F_2$ 为两个焦点，则△ $F_1$ P $F_2$ 称作焦点三角形，若∠ $F_1$ P $F_2$ =α，则△ $F_1$ P $F_2$ 的面积S= $b^2$ tan $α \over 2$